6 replies to this topic

[babystudymaths]

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $abc= 2$ và $a+b+c=4$.

Tìm Min và Max của $P= ab+bc+ca$

Edited by babystudymaths, 16-04-2013 - 16:48.

[Oral1020]

* Min:

Ta có:

$abc=\sqrt{a^2b^2c^2}=\sqrt{ab.bc.ac} \le \sqrt{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27}}$

$\Longrightarrow 4 \le \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27}$

$\Longleftrightarrow 108 \le (ab+bc+ca)^3$

$\Longleftrightarrow ab+bc+ca \ge \sqrt[3]{108}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Vậy $P_{min}=\sqrt[3]{108}$ khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

* Max:

Dễ thấy $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{16}{3}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{4}{3}$

Vậy $P_{max}=\dfrac{16}{3}$ khi $a=b=c=\dfrac{4}{3}$

[babystudymaths]

* Min:

Ta có:

$abc=\sqrt{a^2b^2c^2}=\sqrt{ab.bc.ac} \le \sqrt{\dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27}}$

$\Longrightarrow 4 \le \dfrac{(ab+bc+ca)^3}{27}$

$\Longleftrightarrow 108 \le (ab+bc+ca)^3$

$\Longleftrightarrow ab+bc+ca \ge \sqrt[3]{108}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Vậy $P_{min}=\sqrt[3]{108}$ khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

* Max:

Dễ thấy $ab+bc+ca \le \dfrac{(a+b+c)^2}{3}=\dfrac{16}{3}$

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{4}{3}$

Vậy $P_{max}=\dfrac{16}{3}$ khi $a=b=c=\dfrac{4}{3}$

Tình hình là chú làm sai rùi,cả 2 dấu = phải thỏa mãn cả 2 điều kiện abc=2 và a+b+c=4 mà

[Oral1020]

Tình hình là chú làm sai rùi,cả 2 dấu = phải thỏa mãn cả 2 điều kiện abc=2 và a+b+c=4 mà

Em cũng đang ngồi suy nghĩ chỗ đó luôn.Mà nếu thế thì giải cái HPT $abc=2$ và $a+b+c=4$ ra được nghiệm đây. Thế thì không hay cho lắm

[babystudymaths]

Em cũng đang ngồi suy nghĩ chỗ đó luôn.Mà nếu thế thì giải cái HPT $abc=2$ và $a+b+c=4$ ra được nghiệm đây. Thế thì không hay cho lắm

Gợi ý cho chú là dấu = xảy ra khi có 2 em bằng nhau

[ilovelife]

Gợi ý cho chú là dấu = xảy ra khi có 2 em bằng nhau

Short hint/cách của mình:

$P = b(a+c)+ca=b(4-b)+\frac 2b = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right )$

Bất đẳng thức được đưa về 1 ẩn

Hãy chứng minh $5 \ge P = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right ) \ge \frac 12$ (hi vọng mình tính đúng các giá trị, cái này tính được từ hàm số)

Edited by ilovelife, 16-04-2013 - 20:43.

[babystudymaths]

Short hint/cách của mình:

$P = b(a+c)+ca=b(4-b)+\frac 2b = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right )$

Bất đẳng thức được đưa về 1 ẩn

Hãy chứng minh $5 \ge P = -\left ( b^2-4b-\frac 2b \right ) \ge \frac 12$ (hi vọng mình tính đúng các giá trị, cái này tính được từ hàm số)

Chính xác,cách làm của bạn giống 50% với đáp án của mình,tiếc gì 1 like     .Có điều bạn sai 1 chỗ đó là các số a,b,c dương,mà cái max 1/2 của bạn dấu = xảy ra khi b=4,vô lí vì a,c khác 0.....,sắp ra rồi,cố nghĩ tí nữa bạn nhá,bạn làm đúng hướng rùi đấy

Edited by babystudymaths, 16-04-2013 - 21:15.