Chủ đề này có 4 trả lời

[hoangvtvpvn]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR    $\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}\geq 3$

[PTKBLYT9C1213]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR    $\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}\geq 3$

Mình làm được một đoạn rồi nhưng đến BĐT cuối cùng thì lại không chứng minh được:

Đặt $a=\frac{x}{y}, b=\frac{y}{z}, c=\frac{z}{x}$, Khi đó BĐT trở thành:

$\sum \frac{(x+3y)y}{(x+y)^{2}}\geq 3$

Ta có: $\frac{(x+3y)y}{(x+y)^{2}}=\frac{xy+y^{2}+2y^{2}}{(x+y)^{2}}=\frac{y}{x+y}+2(\frac{y}{x+y})^{2}=m+2m^{2}$

Tương tự: $\sum \frac{(x+3y)y}{(x+y)^{2}}=m+n+p+2(m^{2}+n^{2}+p^{2})\geq 3$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: $2(m^{2}+n^{2}+p^{2})\geq \frac{2}{3}(m+n+p)^{2}$

Đặt m+n+p=t (t>0) . BĐT cần chứng minh tương đương với: 2t²+3t-9$\geq$0

$\Leftrightarrow t\geq \frac{3}{2}$

Tức là ta cần chứng minh $\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\geq \frac{3}{2}$

Đến đây mình không biết làm thế nào. Các bạn thử làm xem 

[Poseidont]

Bạn xem thêm tại đây

P/s:PTKBLYT9C1213 sai rồi bạn à

[PTKBLYT9C1213]

Bạn xem thêm tại đây

P/s:PTKBLYT9C1213 sai rồi bạn à

Có mở rộng đây:

Cho a₁,a₂,...,a_n là n số thực dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{n}\frac{a_{i}+3}{(a_{i}+1)^{2}}\geq 3$

[KietLW9]

Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn abc=1

CMR    $\sum \frac{a+3}{(a+1)^{2}}\geq 3$

Ta có: $\sum_{cyc}\frac{x+3}{(x+1)^2}=\sum_{cyc}(\frac{1}{x+1}+\frac{2}{(x+1)^2})=\sum_{cyc}\frac{yz}{yz+1}+\sum_{cyc}(\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2})\geqslant\sum_{cyc}\frac{yz}{yz+1}+\sum_{cyc}\frac{1}{1+xy}=3$

(Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(y+1)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}$ đã chứng minh ở: https://diendantoanh...12geq-frac11xy/

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$