Chủ đề này có 2 trả lời

[YeuEm Zayta]

Tìm các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho:$P(x)=x(x-1)P''(x)+(x+2)P'(x)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 17:59

[phudinhgioihan]

Tìm các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho:$P(x)=x(x-1)P''(x)+(x+2)P'(x)$

 

Giả sử $P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i $ với $(a_0,a_1,...,a_n) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^* $

 

Từ giả thiết ta có:

 

$$\sum_{i=0}^n a_ix^i =x(x-1) \sum_{i=2}^n i(i-1)a_ix^{i-2} +(x+2)\sum_{i=1}^n a_ix^{i-1} $$

 

$$\Leftrightarrow \sum_{i=0}^n a_ix^i = \sum_{i=2}^n \left(i^2a_i+(i+1)(2-i)a_{i+1} \right) x^i+(a_1+2a_2)x+2a_1 $$

 

Đồng nhất hai vế và ta có:

 

$$\left\{\begin{matrix}a_0 =2a_1 \\ a_1=a_1+2a_2 \\a_i=i^2a_i+(i+1)(2-i)a_{i+1} \;, i \ge 2 \end{matrix}\right.$$

 

Hệ tương đương $a_0=2a_1 , a_2=a_3=...=a_n=0$

 

Vậy $P(x)=a(x+2)  \;, a \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-04-2013 - 11:33

[YeuEm Zayta]

Theo thông tin rò rĩ thì tai ngồi cạnh e học trò nào đấy xinh toá nên dòng thứ 3 từ trên xuống nó bị nhầm zùi