Tìm các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho:$P(x)=x(x-1)P''(x)+(x+2)P'(x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 17:59
Tìm các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho:$P(x)=x(x-1)P''(x)+(x+2)P'(x)$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 18-04-2013 - 17:59
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
Tìm các đa thức $P(x)\in \mathbb{R}[x]$ sao cho:$P(x)=x(x-1)P''(x)+(x+2)P'(x)$
Giả sử $P(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i $ với $(a_0,a_1,...,a_n) \in \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^* $
Từ giả thiết ta có:
$$\sum_{i=0}^n a_ix^i =x(x-1) \sum_{i=2}^n i(i-1)a_ix^{i-2} +(x+2)\sum_{i=1}^n a_ix^{i-1} $$
$$\Leftrightarrow \sum_{i=0}^n a_ix^i = \sum_{i=2}^n \left(i^2a_i+(i+1)(2-i)a_{i+1} \right) x^i+(a_1+2a_2)x+2a_1 $$
Đồng nhất hai vế và ta có:
$$\left\{\begin{matrix}a_0 =2a_1 \\ a_1=a_1+2a_2 \\a_i=i^2a_i+(i+1)(2-i)a_{i+1} \;, i \ge 2 \end{matrix}\right.$$
Hệ tương đương $a_0=2a_1 , a_2=a_3=...=a_n=0$
Vậy $P(x)=a(x+2) \;, a \in \mathbb{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-04-2013 - 11:33
OLP TOÁN SV TRÊN FACEBOOK: http://www.facebook....5/?notif_t=like
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh