Chủ đề này có 2 trả lời

[Mori Ran]

Bài 1: $x,y,z \geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2} =3$

tìm GTNN của $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{2}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Bài 2: cho a, b là các số thực dương. tìm GTNN của 
 $\frac{a^{3}+1}{a}+\frac{b^{3}+1}{b}+ ab$

 

Bài 3: cho a,b,c là các số thực dương và$a+b+c=1$ 
tìm GTNN của $\frac{a^{3}}{bc+a}+\frac{b^{3}}{ac+b}+\frac{c^{3}}{ab+c}$

[DarkBlood]

Bài 1: $x,y,z \geq 0$ và $x^{2}+y^{2}+z^{2} =3$

tìm GTNN của $\frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{y^{3}}{\sqrt{1+z^{2}}}+\frac{z^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Đặt $$A=\sum \frac{x^{3}}{\sqrt{1+y^{2}}}$$

$$\Leftrightarrow A=\sum \frac{2x^{3}}{2\sqrt{1+y^{2}}}$$

Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy,$ ta có:

$$\frac{x^3}{2\sqrt{1+y^2}}+\frac{x^3}{2\sqrt{1+y^2}}+\frac{\sqrt{2}}{8}\ (1+y^2)\geq \frac{3\sqrt[6]{2}}{2\sqrt[3]{4}}\ x^2=\frac{3}{2\sqrt{2}}\ x^2$$

Tương tự, ta có:

$$\frac{y^3}{2\sqrt{1+z^2}}+\frac{y^3}{2\sqrt{1+z^2}}+\frac{\sqrt{2}}{8}\ (1+z^2)\geq\frac{3}{2\sqrt{2}}\ y^2$$

$$\frac{z^3}{2\sqrt{1+x^2}}+\frac{z^3}{2\sqrt{1+x^2}}+\frac{\sqrt{2}}{8}\ (1+x^2)\geq\frac{3}{2\sqrt{2}}\ z^2$$

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có:

$$A+\frac{\sqrt{2}}{8}\ \sum \ (1+y^2)\geq \frac{3}{2\sqrt{2}}\ (x^2+y^2+z^2)=\frac{9}{2\sqrt{2}}$$

$$\Leftrightarrow A\geq \frac{9}{2\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{8}\ \sum \ (1+y^2)=\frac{9}{2\sqrt{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{\sqrt{2}}$$

Vậy $min\ A=\frac{3}{\sqrt{2}},$ đạt được khi và chỉ khi $x=y=z=1$

[Oral1020]

Bạn xem và thảo luận tại đây

--

Kaito kid và mori ran không biết chừng nào conan mới ra tay đây =]]