Chủ đề này có 4 trả lời

[Strygwyr]

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên $n$ sao cho $5^{n}+1\vdots 49^{2011}$

 

[pcfamily]

Xét dãy $49^{2011}+1$ số $5^k; 5^{k+1};...;5^{k+49^{2011}}$ với $k$ là số tự nhiên sao cho $5^k>49^{2011}$

Theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số thuộc dãy trên có cùng số dư khi chia cho $49^{2011}$. Giả sử hai số đó là $5^i; 5^j (i>j)$ 

Suy ra $(5^i-5^j)\vdots 49^{2011}$$\Leftrightarrow 5^j(5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$ mà $(5^i; 49^{2011})=1 \Rightarrow (5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$

Suy ra ĐPCM

[Strygwyr]

Xét dãy $49^{2011}+1$ số $5^k; 5^{k+1};...;5^{k+49^{2011}}$ với $k$ là số tự nhiên sao cho $5^k>49^{2011}$

Theo nguyên lý Dirichlet sẽ có ít nhất 2 số thuộc dãy trên có cùng số dư khi chia cho $49^{2011}$. Giả sử hai số đó là $5^i; 5^j (i>j)$ 

Suy ra $(5^i-5^j)\vdots 49^{2011}$$\Leftrightarrow 5^j(5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$ mà $(5^i; 49^{2011})=1 \Rightarrow (5^{i-j}-1)\vdots 49^{2011}$

Suy ra ĐPCM

theo như bạn thì $5^{n}-1\vdots 49^{2011}$ chứ không phải là $5^{n}+1\vdots 49^{2011}$. Cũng có thể là sai đề, đây là đề thi thử HN-AMS mà, cũng có thể lắm chứ   

[pcfamily]

theo như bạn thì $5^{n}-1\vdots 49^{2011}$ chứ không phải là $5^{n}+1\vdots 49^{2011}$. Cũng có thể là sai đề, đây là đề thi thử HN-AMS mà, cũng có thể lắm chứ   

Bạn có thể up toàn bộ đề lên không ? Năm nay mình cũng thi AMS   Ủa mà mình nhìn nhầm đề, để thử làm $5^n+1$ xem sao

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pcfamily: 27-04-2013 - 17:08

[Strygwyr]

Bạn có thể up toàn bộ đề lên không ? Năm nay mình cũng thi AMS   Ủa mà mình nhìn nhầm đề, để thử làm $5^n+1$ xem sao

mình cũng nghĩ vậy. và sau một hời vật vã lang thang trên mạng cũng kiếm được link http://diendan.hocma...ad.php?t=228138

bạn đọc bài #2 nhé