Chủ đề này có 3 trả lời

[PTKBLYT9C1213]

Chứng minh rằng nếu a>0, b>0, c>0 thì ta có:

         $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[banhgaongonngon]

Chứng minh rằng nếu a>0, b>0, c>0 thì ta có:

         $\frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

 

Giả sử $a\geq b\geq c>0$. Ta có

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{^{2}+c^{2}}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}\\ \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)-ab(a-b)}{(c+a)(c^{2}+a^{2})} \\ \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \end{matrix}\right.$

Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\sum \frac{a}{b+c}\geq 0$

[PTKBLYT9C1213]

Giả sử $a\geq b\geq c>0$. Ta có

$\left\{\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{^{2}+c^{2}}}-\frac{a}{b+c}=\frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(b+c)(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{(c+a)(c^{2}+a^{2})}\\ \frac{b^{2}}{c^{2}+a^{2}}-\frac{b}{c+a}=\frac{bc(b-c)-ab(a-b)}{(c+a)(c^{2}+a^{2})} \\ \frac{c^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\frac{c}{a+b}=\frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+b)(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{ac(c-a)+bc(c-b)}{(a+c)(a^{2}+c^{2})} \end{matrix}\right.$

Cộng vế ba bất đẳng thức trên ta được

$\sum \frac{a^{2}}{b^{2}+c^{2}}-\sum \frac{a}{b+c}\geq 0$

Bạn có thể làm câu mở rộng luôn được ko:

$\frac{a_{1}^{2}}{a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}}+...+\frac{a_{n}^{2}}{a_{1}^{2}+...+a_{n-1}^{2}}\geq \frac{a_{1}}{a_{2}+...+a_{n}}+...+\frac{a_{n}}{a_{1}+...+a_{n-1}}$

[KietLW9]

$VT-VP=(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)\sum_{cyc}\frac{bc(b-c)^2}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)(a+b)(a+c)} \geqslant 0$