Chủ đề này có 6 trả lời

[Yagami Raito]

Cho $a,b$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=2$

Chứng minh rằng $$a+b \geq 2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 01-05-2013 - 21:28

[babystudymaths]

Cho $a,b$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=2$

Chứng minh rằng $$a+b \geq 2$$

Quá dễ mà bạn

$\frac{1}{X^{2}}+1\geq \frac{2}{X}\Rightarrow 2+1+1\geq \frac{2}{a}+\frac{2}{b}\geq \frac{8}{a+b}\Rightarrow \blacksquare$

[trandaiduongbg]

em nghĩ là như thế này cũng đcvì có đk thực dương rồi:

Ta có:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=2

$\Leftrightarrow$ $\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=2$

$\Leftrightarrow$ $a^2+b^2=2a^2b^2$

Lại có: $a^2+b^2$ $\geq$ 2ab 

$\Rightarrow$ 2a²b² $\geq$ 2ab

$\Leftrightarrow$ ab $\geq$1 (vì a,b là các số thực dương)

Ta có:

a+b $\geq$ $2\sqrt{ab}$ $\geq$ $2\sqrt{1}$=2 (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=b=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trandaiduongbg: 02-05-2013 - 12:03

[Yagami Raito]

em nghĩ là như thế này cũng đcvì có đk thực dương rồi:

Ta có:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=2

$\Leftrightarrow$ $\frac{a^2+b^2}{a^2b^2}=2$

$\Leftrightarrow$ $a^2+b^2=2a^2b^2$

Lại có: $a^2+b^2$ $\geq$ 2ab 

$\Rightarrow$ 2a²b² $\geq$ 2ab

$\Leftrightarrow$ ab $\geq$1 (vì a,b là các số thực dương)

 

Đoạn này sao không thế này cho nó nhanh

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{2}{ab}\Rightarrow 2\geq \frac{2}{ab}\Rightarrow ab\geq 1$

[NMCT]

Cho $a,b$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=2$

Chứng minh rằng $$a+b \geq 2$$

$Áp   dụng   bất   đẳng   thức   cauchy   ta  có  :  \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} \geq 2\sqrt{\frac{1}{a^2b^2}}   hay     \frac {1}{a^2} +\frac{1}{b^2}\geq 2\frac{1}{ab} \geq 2   \Rightarrow   ab \geq 1   áp   dụng   bất   đẳng   thức   cauchy   ta   có   :   a + b \geq 2\sqrt{ab}   ,   mà    ab \geq 1   \Rightarrow a + b \geq 2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMCT: 02-05-2013 - 18:11

[bachhammer]

Từ BĐT $(a-b)^{2}\geq 0$ (Dấu"=" xảy ra khi a=b);dễ dàng chứng minh bằng biến đổi tương đương 2 BĐT:$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\geq \frac{4}{a+b}$ và $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$.

Khi đó: $2=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}\geq \frac{(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}}{2}\geq \frac{(\frac{4}{a+b})^{2}}{2} \Rightarrow a+b\geq 2$(đpcm)

[andymurray44]

Chém thêm cách cho vui:$2(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}})\geq (\frac{1}{a}+\frac{1}{b})^{2}\geq \frac{16}{(a+b)^{2}}$