Chủ đề này có 1 trả lời

[Strygwyr]

Cho các số thực không âm $x$,$y$,$z$ thoả mãn $x^{4}+y^{4}+z^{4}=4$.Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 2\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 03-05-2013 - 17:16

[25 minutes]

Cho các số thực không âm $x$,$y$,$z$ thoả mãn $x^{4}+y^{4}+z^{4}=4$.Chứng minh rằng $x^{3}+y^{3}+z^{3}\geq 2\sqrt{2}$

Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra được $x,y,z \leq \sqrt[4]{4}=\sqrt{2}$

Do $x,y,z$ không âm nên ta có $x^3(x-\sqrt{2})\leq 0\Leftrightarrow x^4 \leq \sqrt{2}x^3$

Tương tự 2 bđt còn lại rồi cộng vào ta được 

                      $x^4+y^4+z^4 \leq \sqrt{2}(x^3+y^3+z^3)$

Kết hợp giả thiết $x^4+y^4+z^4=4$ ta có ngay đpcm

Dấu = xảy ra khi $(x,y,z)=(0,0,\sqrt{2})$ và hoán vị bộ số này