Chủ đề này có 4 trả lời

[PTKBLYT9C1213]

Cho $x^{2}+y^{2}+xy=1$. Tìm min, max của A=$x^{2}-xy+2y^{2}$

[trauvang97]

Cho $x^{2}+y^{2}+xy=1$. Tìm min, max của A=$x^{2}-xy+2y^{2}$

 

Gọi T là tập giá trị của A. Ta có $a \in T$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

           $\left\{\begin{matrix} x^{2}+xy+y^{2}=3\\ x^{2}+xy-2y^{2}=a \end{matrix}\right.$      (I)

 

Nếu $y=0$ thì hệ (I) trở thành:  $\left\{\begin{matrix} x^{2}=3\\ x^{2}=a \end{matrix}\right.$  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm \sqrt{3}\\ a=3 \end{matrix}\right.$

 

Nếu $y\neq 0$ đặt $x=ty$ ta có hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} y^{2}(t^{2}+t+1)=3\\ y^{2}(t^{2}+t-2)=a \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}=\frac{3}{t^{2}+t+1}\\ \frac{3(t^{2}+t-2)}{t^{2}+t+1}=a \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\pm \sqrt{\frac{3}{t^{2}+t+1}}\\ (a-3)t^{2}+(a-3)t+a+6=0 \end{matrix}\right. (II)$

 

Hệ $(I)$ có nghiệm khi và chỉ khi hệ $(II)$ có nghiệm $y\neq 0$ khi và chỉ khi phương trình: $(a-3)t^{2}+(a-3)t+a+6=0 (1)$ có nghiệm

 

Nếu $a=3$ thì $(1)$ vô nghiệm

 

Nếu $a\neq 3$ thì $(2)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta = -3a^{2}-18a+81\geq 0\Leftrightarrow-9\leq a\leq 3$         $(a\neq 3)$

 

Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của a để hệ $(I)$ có nghiệm là: $-9\leq a\leq3$

 

Vâỵ min A = $-9$,không có max !!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trauvang97: 05-05-2013 - 17:13

[conan98md]

A = (x²-xy+2y²) : (x²+xy+y²)

 

chia cả tử và mẫu cho x²

 

--> A =( 1- $\frac{y}{x}$+ $2\frac{y²}{x²}$) : ( 1+ $\frac{y}{x}$+  $\frac{y²}{x²}$)

 

đặt $\frac{y}{x}$= a 

 

--> A = ( 1 - a + 2a²) ; ( 1 + a + a²)

 

đến đây sử dụng phương pháp miền giá trị là xong

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi conan98md: 08-05-2013 - 13:39

[PTKBLYT9C1213]

Gọi T là tập giá trị của A. Ta có $a \in T$ khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

 

           $\left\{\begin{matrix} x^{2}-xy+y^{2}=3\\ x^{2}+xy-2y^{2}=a \end{matrix}\right.$      (I)

 

Nếu $y=0$ thì hệ (I) trở thành:  $\left\{\begin{matrix} x^{2}=3\\ x^{2}=a \end{matrix}\right.$  $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=\pm \sqrt{3}\\ a=3 \end{matrix}\right.$

 

Nếu $y\neq 0$ đặt $x=ty$ ta có hệ:

 

$\left\{\begin{matrix} y^{2}(t^{2}-t+1)=3\\ y^{2}(t^{2}+t-2)=a \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y^{2}=\frac{3}{t^{2}-t+1}\\ \frac{3(t^{2}+t-2)}{t^{2}-t+1}=a \end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y=\pm \sqrt{\frac{3}{t^{2}-t+1}}\\ (a-3)t^{2}-(a+3)t+a+6=0 \end{matrix}\right. (II)$

 

Hệ $(I)$ có nghiệm khi và chỉ khi hệ $(II)$ có nghiệm $y\neq 0$ khi và chỉ khi phương trình: $(a-3)t^{2}-(a+3)t+a+6=0 (1)$ có nghiệm

 

Nếu $a=3$ thì $(1)$ có nghiệm $t=\frac{3}{2}$

 

Nếu $a\neq 3$ thì $(2)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta = -3a^{2}-6a+81\geq 0\Leftrightarrow -1-2\sqrt{7}\leq a\leq -1+2\sqrt{7}$         $(a\neq 3)$

 

Kết hợp các trường hợp trên ta được các giá trị của a để hệ $(I)$ có nghiệm là: $-1-2\sqrt{7}\leq a\leq -1+2\sqrt{7}$

 

Vâỵ min A = $-1-2\sqrt{7}$, max A = $-1+2\sqrt{7}$

 

Bạn ơi sai đề rồi kia!

[PTKBLYT9C1213]

A = (x²-xy+2y²) : (x²+xy+y²)

 

chia cả tử và mẫu cho x²

 

--> A =( 1- y/x + 2y²/x² ) : ( 1+ y/x + y²/x² )

 

đặt y/x = a 

 

--> A = ( 1 - a + 2a²) ; ( 1 + a + a²)

 

đến đây sử dụng phương pháp miền giá trị là xong

Bạn có thể viết Latex được ko? Viết thế này khó đọc lắm