Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa mãn $a+b+c=1006$

Chứng minh rằng $\sqrt{2012.a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012.b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012.c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 05-09-2021 - 20:22

[nhatquangsin]

Cho $a,b,c\in \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn $a+b+c=1006$

Chứng minh rằng $\sqrt{2012.a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012.b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012.c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leq 2012\sqrt{2}$

khi a=b=c thì chỗ này là $1006\sqrt{6}$ chứ bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 05-05-2013 - 21:45

[KietLW9]

Mình xin mạn phép sửa lại đề là chứng minh bất đẳng thức: 

$\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leqslant 2012\sqrt{2}$

Tức là đề ban đầu của bạn đã đúng, còn khi $a=b=c$ chỉ là một trường hợp, dấu bằng chắc gì đã là $a=b=c$ nên mình xin giải theo đề trên.

Ta có: $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}=\sqrt{2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2+c^2+2bc}{2}-2bc}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-2bc}\leqslant \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$

Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leqslant \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1006