Mình xin mạn phép sửa lại đề là chứng minh bất đẳng thức:
$\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leqslant 2012\sqrt{2}$
Tức là đề ban đầu của bạn đã đúng, còn khi $a=b=c$ chỉ là một trường hợp, dấu bằng chắc gì đã là $a=b=c$ nên mình xin giải theo đề trên.
Ta có: $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}=\sqrt{2a(a+b+c)+\frac{(b-c)^2}{2}}=\sqrt{\frac{4a^2+4ab+4ac+b^2+c^2+2bc}{2}-2bc}=\sqrt{\frac{(2a+b+c)^2}{2}-2bc}\leqslant \frac{2a+b+c}{\sqrt{2}}$
Tương tự rồi cộng lại, ta được: $\sqrt{2012a+\frac{(b-c)^{2}}{2}}+\sqrt{2012b+\frac{(c-a)^{2}}{2}}+\sqrt{2012c+\frac{(a-b)^{2}}{2}}\leqslant \frac{4(a+b+c)}{\sqrt{2}}=2012\sqrt{2}$
Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số $a,b,c$ có 2 số bằng 0 và 1 số bằng 1006
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$