Chủ đề này có 3 trả lời

[Forgive Yourself]

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.

 

-------------------------------------------

p/s: Mình được thầy gợi ý là:

Giả sử $(a,b)=m$ suy ra $a=mq,b=mr$ với $(q,r)=1$. Do đó: $p(r^2+q^2)=m^2q^2r^2$

Từ đó lập luận để $q=r=1$

[PTKBLYT9C1213]

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.

 

-------------------------------------------

p/s: Mình được thầy gợi ý là:

Giả sử $(a,b)=m$ suy ra $a=mq,b=mr$ với $(q,r)=1$. Do đó: $p(r^2+q^2)=m^2q^2r^2$

Từ đó lập luận để $q=r=1$

Với p=2 . Thay vào ta tìm được a=b=2 (thõa mãn)

Với p>2 nên p lẻ.

Giả sử tồn tại số nguyên tố lẻ p thõa mãn $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$

$\Leftrightarrow$$\frac{1}{p}=\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}}$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}=p(a^{2}+b^{2})$

$\Leftrightarrow a^{2}b^{2}-pa^{2}-pb^{2}=0$

$\Leftrightarrow a^{2}(b^{2}-p)-p(b^{2}-p)-p^{2}=0$

$\Leftrightarrow (b^{2}-p)(a^{2}-p)=p^{2}$

Vì p là số nguyên tố lẻ nên p² có các ước là 1,-1,p,-p,p²,-p²

Xét các trường hợp ta thấy ko tồn tại số nguyên tố lẻ p thõa mãn

[ilovelife]

Tìm các số nguyên tố $p$ sao cho $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ với $a,b$ là các số nguyên dương.

 

-------------------------------------------

p/s: Mình được thầy gợi ý là:

Giả sử $(a,b)=m$ suy ra $a=mq,b=mr$ với $(q,r)=1$. Do đó: $p(r^2+q^2)=m^2q^2r^2$

Từ đó lập luận để $q=r=1$

Bài toán mạnh hơn, giải phương trình nghiệm nguyên dương với $p$ là số nguyên tố: $\frac 1p=\frac 1a+\frac 1b$

 

[phatthemkem]

 

Bài toán mạnh hơn, giải phương trình nghiệm nguyên dương với $p$ là số nguyên tố: $\frac 1p=\frac 1a+\frac 1b$

Ta có $\frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$

$\Leftrightarrow (a-p)(b-p)=p^2$

Tới đây làm như bạn PTKBLYT9C1213