Chủ đề này có 4 trả lời

[Sagittarius912]

Cho $a,b,c,d >0$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{3a^2+1}+\frac{1}{3b^2+1}+\frac{1}{3c^2+1}+\frac{1}{3d^2+1}\ge \frac{16}{7}$

[vutuanhien]

Cho $a,b,c,d >0$ thỏa mãn $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{3a^2+1}+\frac{1}{3b^2+1}+\frac{1}{3c^2+1}+\frac{1}{3d^2+1}\ge \frac{16}{7}$

Em làm thế này không biết có đúng không ạ?

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq d$. Ta chứng minh được $f(a,b,c,d)\geq f(\frac{a+c}{2},b,\frac{a+c}{2},d)$. Do đó theo định lý SMV ta chỉ cần chứng minh BĐT khi $a=b=c=t\geq d$. Thay $t=2-3d$ vào và khai triển ta được BĐT tương đương với $36(1-2t)^2(3t+1)(2-3t)\geq 0$

(hiển nhiên đúng)

[Sagittarius912]

Em làm thế này không biết có đúng không ạ?

Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c\geq d$. Ta chứng minh được $f(a,b,c,d)\geq f(\frac{a+c}{2},b,\frac{a+c}{2},d)$. Do đó theo định lý SMV ta chỉ cần chứng minh BĐT khi $a=b=c=t\geq d$. Thay $t=2-3d$ vào và khai triển ta được BĐT tương đương với $36(1-2t)^2(3t+1)(2-3t)\geq 0$

(hiển nhiên đúng)

 Cái mình cần chính là chỗ đó
Hơn nữa,t đang mong chờ 1 cách giải  không búa tạ ? :-?

[vutuanhien]

 Cái mình cần chính là chỗ đó
Hơn nữa,t đang mong chờ 1 cách giải  không búa tạ ? :-?

$f(a,b,c,d)-f(\frac{a+c}{2},b,\frac{a+c}{2},d)$=$\frac{3(a-c)^2\left [ 3a^2+12ac+3c^2-2 \right ]}{(3a^2+1)(3c^2+1)\left [ 3(\frac{a+c}{2})^2+1 \right ]}\geq 0$ (vì $3a^2+12ac+3c^2=3(a+c)^2+6ac> 3> 2$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 06-05-2013 - 10:28

[maitienluat]

Hơn nữa,t đang mong chờ 1 cách giải  không búa tạ ? :-?

Thế này có búa tạ không nhỉ :-?

TH1: cả 4 số đều không nhỏ hơn $\frac {1} {12}$. Khi đó ta có BDT sau

$$\frac {1} {3a^{2}+1} \geq \frac {-48} {49}a+ \frac {52} {49} \Leftrightarrow (2a-1)^{2}(12a-1) \geq 0 $$

Thiết lập 3 BDT tương tự với $b,c,d$ và cộng lại ta có đpcm.

TH2: có ít nhất 1 số, chẳng hạn $0 \leq d \leq \frac {1} {12}$. Khi đó ta có BDT sau

$$\frac {1} {3a^{2}+1} \geq \frac {-36} {49}a+ \frac {45} {49} \Leftrightarrow (3a-2)^2(12a+1) \geq 0 $$

Tương tự với $b,c$ và cộng lại, ta cần chỉ ra

$$\frac {1} {3d^{2}+1}+ \frac {36} {49}d \geq 1 \Leftrightarrow d(108d^{2}-147d+36) \geq 0$$

BDT này đúng với mọi $0 \leq d \leq \frac {1} {12}$. Trong trường hợp này ta cũng có đpcm.

Kết thúc chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=d=\frac {1} {2}$ hoặc $a=b=c=\frac {2} {3}, d=0$ và các hoán vị $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 06-05-2013 - 20:47