Chủ đề này có 2 trả lời

[huyxxbian]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $ab+bc+ac =3 $
Chứng minh rằng : 
$ \frac{a}{2a^2+ bc}+\frac{b}{2b^2+ ac}+\frac{c}{2c^2+ ab} \ge abc $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huyxxbian: 09-05-2013 - 18:08

[Oral1020]

Cho a,b,c là các số dương thoả mãn $ab+bc+ac =3 $
Chứng minh rằng : 
$ \frac{a}{2a^2+ bc}+\frac{b}{2b^2+ ac}+\frac{c}{2c^2+ ab} \ge abc $

Ta có:

$ab+bc+ac=3$

$\Longrightarrow bc=3-ab-ac$

$\Longrightarrow \dfrac{a}{2a^2+bc}=\dfrac{a}{2a^2+3-ab-ac}=\dfrac{1}{2a-b-c+\frac{3}{a}}$

Tương tự,ta có:

$\dfrac{b}{2b^2+ac}=\dfrac{1}{2b-a-c+\frac{3}{b}}$

$\dfrac{c}{2c^2+ab}=\dfrac{1}{2c-a-b+\frac{3}{c}}$

Từ đó,ta suy ra:

$VT=\sum \dfrac{1}{2a-b-c+\frac{3}{a}} \ge \dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$(Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Ta sẽ chứng minh $\dfrac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \ge abc$

$\Longleftrightarrow \dfrac{3}{\frac{ab+bc+ac}{abc}} \ge abc$

$\Longleftrightarrow 1 \ge abc$ (đúng)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral31211999: 09-05-2013 - 19:09

[bachhammer]

Ta có:$\sum \frac{1}{2a^{2}bc+b^{2}c^{2}}\geq \frac{9}{2abc(a+b+c)+\sum a^{2}b^{2}}=\frac{9}{(ab+bc+ca)^{2}}=1$. Sau đó nhân hai vế của bất đẳng thức đó với abc ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1.