Chủ đề này có 2 trả lời

[trananh2771998]

Cho các số dương x,y,z thoả mãn $x^{2} \dotplus y ^{2} \dotplus z^{2} =1$

Chứng minh

$\sum \frac{x}{ y^{2} \dotplus z ^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2 }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi trananh2771998: 10-05-2013 - 11:18

[ilovelife]

Ta có đánh giá:

 

$\sum \frac{x}{ y^{2} \dotplus z ^{2}} = \sum \frac x{1-x^2} \ge \sum \frac 32 \sqrt 3 x^2=VP$

 

 

Cho các số dương x,y,z thoả mãn $x^{2} \dotplus y ^{2} \dotplus z^{2} =1$

Chứng minh

$\sum \frac{x}{ y^{2} \dotplus z ^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2 }$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ilovelife: 10-05-2013 - 17:39

[trauvang97]

Cho các số dương x,y,z thoả mãn $x^{2} \dotplus y ^{2} \dotplus z^{2} =1$

Chứng minh

$\sum \frac{x}{ y^{2} \dotplus z ^{2}} \geq \frac{3\sqrt{3}}{2 }$

 

Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh dưới dạng:

 

$\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{y}{1-y^{2}}+\frac{z}{1-z^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   $\frac{2x^{2}+(1-x^{2})+(1-x^{2})}{3}\geq \sqrt[3]{2x^{2}(1-x^{2})^{2}}$

 

hay $\frac{8}{27}\geq 2x^{2}(1-x^{2})^{2}\Leftrightarrow \frac{4}{27}\frac{x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}\geq x^{4}\Leftrightarrow \frac{x}{1-x^{2}}\geq \frac{3\sqrt{3}x^{2}}{2}$

 

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự rồi cộng vế với vế ta có đpcm