Chủ đề này có 1 trả lời

[chrome98]

Tìm $(m,p,q)$ với $p,q$ nguyên tố, $m>0$ sao cho 

\[ 2^m\cdot p^2+1=q^5 \]

[ilovelife]

Tìm $(m,p,q)$ với $p,q$ nguyên tố, $m>0$ sao cho 

\[ 2^m\cdot p^2+1=q^5 \]

Phương trình tương đương:
$2^mp^2=(q-1)(q^4+q^3+q^2+q+1)$

$\iff p^2 = \frac {q-1}{2^m}(q^4 + q^3 + q^2 + q + 1)$

Dễ thấy $2 \nmid q^4 + q^3 + q^2 + q + 1$
$\implies 2^m \mid q-1$
Lại có: $(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 1, 5$

 

TH1: $(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 1$
khi ấy, $q - 1 = 2^m \cdot a^2,\, q^4+q^3+q^2+q+1 = b^2$

$\implies p^2 = (ab)^2 \implies a=1,b=p^2 \lor b = 1, a=p^2$
Đến đây thì thử, chặn... (chắc là dễ)

TH2: $(q-1,q^4+q^3+q^2+q+1) = 5$

$\implies 5 \mid p^2 \implies p = 5$
Đến đây thì cũng dễ