Chủ đề này có 3 trả lời

[bachhammer]

Tìm tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn đồng nhất thức:

$xP(x-1)=(x-k)P(x)$ (Trong đó k là một số tự nhiên lớn hơn 1)

[bachhammer]

Lâu quá chả có ma nào đụng, thôi tự xử vậy:

Cho x=0 thì ta suy ra P(0)=0.

Cho x=1 vào ta suy ra (1-k)P(1)=0. Nếu k=1 thì ta thấy đồng nhất thức trở thành xP(x-1)=(x-1)P(x) (1). Vì P(0)=0 nên P(x)=x.Q(x). Thay trở lại (1) ta suy ra Q(x)=Q(x-1).Do đó Q(1)=Q(2)=...=a Phương trình Q(x)-a=0 có vô số nghiệm nên $Q(x)\equiv a$. Do đó P(x)=ax (a là hằng số thực). Nếu k lớn hơn 1 thì ta sẽ có P(1)=0. Thay x=2 vào ta có (2-k)P(2)=0. Nếu k=2 thì lặp luận tương tự ta có P(x)=ax(x-1). Nếu k khác 2 lại có P(2)=0. Tiếp tục các bước lặp luận ta tính được cá giá trị P(3);P(4);... ta đi đến đa thức cần tìm P(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-k) (Trong đó a là hằng số).

[bachhammer]

Ta tổng quát bài toán lên: thay số 1 trong điều kiện thành a và thay k thành b. Cho biết a,b là các số thực dương.

[Juliel]

Lâu quá chả có ma nào đụng, thôi tự xử vậy:

Cho x=0 thì ta suy ra P(0)=0.

Cho x=1 vào ta suy ra (1-k)P(1)=0. Nếu k=1 thì ta thấy đồng nhất thức trở thành xP(x-1)=(x-1)P(x) (1). Vì P(0)=0 nên P(x)=x.Q(x). Thay trở lại (1) ta suy ra Q(x)=Q(x-1).Do đó Q(1)=Q(2)=...=a Phương trình Q(x)-a=0 có vô số nghiệm nên $Q(x)\equiv a$. Do đó P(x)=ax (a là hằng số thực). Nếu k lớn hơn 1 thì ta sẽ có P(1)=0. Thay x=2 vào ta có (2-k)P(2)=0. Nếu k=2 thì lặp luận tương tự ta có P(x)=ax(x-1). Nếu k khác 2 lại có P(2)=0. Tiếp tục các bước lặp luận ta tính được cá giá trị P(3);P(4);... ta đi đến đa thức cần tìm P(x)=ax(x-1)(x-2)...(x-k) (Trong đó a là hằng số).

Hình như $P(x)$ không có nhân tử $x-k$ đâu anh.

Lời giải : 

Cho $x=0$ ta có $P(0)=0$

Cho $x=1$ ta có $(1-k)P(1)=P(0)=0\Rightarrow P(1)=0$

Cho $x=2$ ta có $(2-k)P(2)=2P(1)=0\Rightarrow P(2)=0$

....

Cho $x=k$ ta có $k.P(k-1)=0\Rightarrow P(k-1)=0$

Như vậy đa thức $P(x)$ có các nghiệm $x\in \left \{ 0,1,2,...,k-1 \right \}$

Đặt $P(x)=x(x-1)(x-2)...(x-k+1).Q(x)$

Ta suy ra $P(x-1)=(x-1)(x-2)(x-3)...(x-k).Q(x-1)$

Thay vào phương trình đa thức ban đầu :

$$x.(x-1)(x-2)...(x-k).Q(x-1)=(x-k).x(x-1)(x-2)...(x-k+1).Q(x)\; \forall x\Leftrightarrow Q(x-1)=Q(x)\;\forall x\Leftrightarrow Q(x)\equiv C$$

Như vậy $P(x)=C.x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$. Thử lại thỏa mãn.

Kết luận : Đa thức cần tìm là $P(x)=C.x(x-1)(x-2)...(x-k+1)$ với $C$ là số thực tùy ý.

 

Nhận xét : Nếu đa thức $P(x)$ thỏa mãn đồng nhất thức $(x-a)P(x-1)=(x-b)P(x)\;\; \left ( a,b\in \mathbb{N} \right )$     thì đa thức $P(x)$ có đúng $\left | a-b \right |$ nghiệm

 

 Không biết nhận xét này đúng không, tại em giải mấy bài tương tự với những con số cụ thể thì thấy nó đúng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 22-09-2013 - 13:10