Chủ đề này có 4 trả lời

[megan98]

Chứng minh rằng: $\left (\left ( \sqrt[3]{3+2\sqrt{2}} \right ) +\left ( \sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \right ) \right )^{8} > 3^{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megan98: 10-05-2013 - 21:05

[bachhammer]

Cái biểu thức trong ngoặc bên kia có số mũ 8 ko vậy bạn.

[Supermath98]

Đề này có 1 cái mũ 8 thôi hả bạn? 

[megan98]

sorry mình viết lộn. Sửa rùi đó các bạn. Giúp mình nha. Thank

[megan98]

Chứng minh rằng: $\left (\left ( \sqrt[3]{3+2\sqrt{2}} \right ) +\left ( \sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \right ) \right )^{8} > 3^{6}$

 

Mình giải cách này có đúng không mọi người.

Đặt $a=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}$ ; $b=\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}$ $\left ( a;b> 0 \right )$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a^{3}+b^{3}=6\\ a.b=1 \end{matrix}\right.$

Đặt $M=a+b$

$\Rightarrow M^{3}=\left ( a+b \right )^{3}=a^{3}+b^{3}+3ab(a+b)=6+3(a+b)=3(2+M)=3 (1+1+M)$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 3 số ta có

$3 (1+1+M) \geq 3.3\sqrt[3]{1.1.M}$

$\Rightarrow M^{3} \geq 9\sqrt[3]{M}$

$\Rightarrow M^{9} \geq 9^{3}M$

$\Rightarrow M^{8} \geq 9^{3}$

$\Rightarrow M^{8} \geq (3^{2})^{3}$

$\Rightarrow M^{8} \geq 3^{6}$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow M=1$

Mà  $M=a+b=\sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}}> 1$

Suy ra không xảy ra dấu bằng.

Vậy $M^{8} > 3^{6}$

Hay $\left ( \sqrt[3]{3+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{3-2\sqrt{2}} \right )^{8}> 3^{6}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megan98: 11-05-2013 - 12:10