Chứng minh: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1993}{1994}< \frac{2}{109}.$
Chứng minh: $\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1993}{1994}< \frac{2}{109}.$
Chứng minh: $A=\frac{1}{2}.\frac{3}{4}.\frac{5}{6}...\frac{1993}{1994}< \frac{2}{109}.$
Với mọi số tự nhiên $n$ ta luôn có: $\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (\star)$
Thật vậy, ta có:
$\frac{n}{n+1}<\frac{n+1}{n+2}$
$\Leftrightarrow n(n+2)<(n+1)^2$
$\Leftrightarrow 0<1$ $($Bất đẳng thức đúng$)$
Áp dụng bất đẳng thức $(\star),$ ta có:
$A<\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdot \cdot \frac{1994}{1995}$
$\Rightarrow A^2<\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \cdot \cdot \frac{1994}{1995}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6}\cdot \cdot \cdot \frac{1993}{1994}$
$\Rightarrow A^2<\frac{3}{4\ .\ 1995}=\frac{1}{2660}$
$\Rightarrow A<\frac{1}{2\sqrt{665}}=\frac{2}{4\sqrt{665}}<\frac{2}{109}$
Edited by Hoang Huy Thong, 13-05-2013 - 10:55.
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênStarted by dungbruhbruh12345, Yesterday, 02:37 đại số, tài liệu and 2 more... |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNStarted by dungbruhbruh12345, Yesterday, 02:35 đại số, chuyên đề, tài liệu and 3 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Started by aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Started by Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức and 1 more... |
|
0 members, 1 guests, 0 anonymous users