Chủ đề này có 3 trả lời

[T M]

Bài toán: Tìm tất cả hàm $f:R \to R$ thỏa mãn

 

$$x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 \ \ \forall x \in R$$

[Idie9xx]

Bài toán: Tìm tất cả hàm $f:R \to R$ thỏa mãn

 

$$x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4 \ \ \forall x \in R$$

Thay $x$ bằng $1-x$ có $(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4$

Kết hợp với $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4$ để giải hệ phương trình

Ta giải hệ $\left\{\begin{matrix}(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4\\
x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\end{matrix}\right.$

Với ẩn là $f(x),f(1-x)$ từ đó tìm ra được hàm cần tìm

Đáp án $f(x)=1-x^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Idie9xx: 12-05-2013 - 20:51

[T M]

Thay $x$ bằng $1-x$ có $(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4$

Kết hợp với $x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4$ để giải hệ phương trình

Ta giải hệ $\left\{\begin{matrix}(1-x)^2f(1-x)+f(x)=2(1-x)-(1-x)^4\\
x^2f(x)+f(1-x)=2x-x^4\end{matrix}\right.$

Với ẩn là $f(x),f(1-x)$ từ đó tìm ra được hàm cần tìm

Đáp án $f(x)=1-x^2$

 

Bạn có thể nêu rõ hơn cách giải hệ đó không ? Mình mới học

[Idie9xx]

Bạn có thể nêu rõ hơn cách giải hệ đó không ? Mình mới học

Hệ phương trình đó bạn cứ giải như bình thường là nhân $(1-x)^2$ vào phương trình thứ 2 ( $x \neq 1$) rồi trừ cho các vế tương ứng của phương trình 1 để loại bỏ $f(1-x)$ rồi tính $f(x)$ theo $x$ là được

Thực ra giải như thế khá là phức tạp nhưng nếu bạn đoán được $f(x)=1-x^2$ rồi thì có thể đơn giản nó bằng cách đặt $f(x)=g(x)+1-x^2$ ta sẽ có $x^2(g(x)+1-x^2)+(g(1-x)+1-(1-x)^2)=2x-x^4 \Rightarrow x^2g(x)+g(1-x)=0$ $(1)$

Rồi thay $x$ bằng $1-x$ sẽ có $(1-x)^2g(1-x)+g(x)=0$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ ta sẽ có hệ đơn giản hơn

$$\left\{\begin{matrix}
x^2g(x)+g(1-x)=0\\
(1-x)^2g(1-x)+g(x)=0
\end{matrix}\right.$$

Giải hệ này tìm được $g(x)=g(1-x)=0$ nên $f(x)=1-x^2$