Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Nhân dịp 123 năm ngày sinh của chủ tịch Hồ Chí Minh 19-5-1890/19-5-2013, tôi xin gửi đến các bạn một bài toán mới:Cho x,y,z là các số nguyên khác 0 sao cho $x^{2}+y^{2}\neq z^{2}-2xy$ và $x^{2}-yz=19;y^{2}-zx=5;z^{2}-xy=1890$. Biết tổng x+y chia hết cho 7. Chứng minh $19x+5y+1890z\vdots13398$. 

[bachhammer]

Cách giải như thế này: vì x+y chia hết cho 7 nên 5(x+y) cũng chia hết cho 7. Từ đó suy ra 14x+1890z+5x+5y chia hết cho 7, hay 19x+5y+1890z chia hết cho 7. Từ điều kiện $x^{2}+y^{2}\neq z^{2}-2xy\Rightarrow x+y\neq \pm z$.

Ta có: $19x+5y+1890z=x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)=(x+y+z)(19+5+1890)=1914(x+y+z)$. Đến đây giải tiếp được rồi hén. Mà tớ nghĩ khỏi cần điều kiện   $x^{2}+y^{2}\neq z^{2}-2xy$ này luôn.