Chủ đề này có 3 trả lời

[bachhammer]

Tìm tất cả các hàm tăng thực sự f:$\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn:

$f(\frac{x^{2}}{f(x)})=x,\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

[Idie9xx]

Tìm tất cả các hàm tăng thực sự f:$\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thoả mãn:

$f(\frac{x^{2}}{f(x)})=x,\forall x\in \mathbb{R}^{+}$

Do $f$ tăng thực sự nên $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ và $\frac{x^{2}}{f(x)}>\frac{y^{2}}{f(y)}\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^2}>\frac{f(x)}{f(y)}>1$

Khi $x \rightarrow y$ thì $f(x) \rightarrow f(y)$ vậy $f$ liên tục.

Đặt $f(x)=xg(x)$ có $f\left ( \frac{x}{g(x)} \right )=x$ và $g\left ( \frac{x}{g(x)} \right )=g(x)$

Chứng minh qui nạp bằng cách thay $x$ bằng $\frac{x}{g(x)}$ kết hợp hai dữ kiện trên ta có được:

$f\left ( \frac{x}{(g(x))^n} \right )=\frac{x}{(g(x))^{n-1}}$ và $g\left ( \frac{x}{(g(x))^n} \right )=g(x)$ với $n \in \mathbb{N}$

Cho $x>y \Rightarrow \frac{x}{(g(x))^n}>\frac{y}{(g(y))^n}$

$\Rightarrow \frac{x}{y}>1\geq \left (\frac{g(x)}{g(y)} \right )^n$ ( do $n\rightarrow +\infty$) $\Rightarrow g(y)\geq g(x) \Rightarrow g$ giảm.

Với $g(x_0)>1 \Rightarrow \frac{x_0}{(g(x_0))^n} \rightarrow 0$ do $g$ giảm.

$\Rightarrow g(x)=c$ ( $c$ là hằng số ) với $x \in (0;x_0]$

Do $f$ liên tục nên $g$ liên tục $\Rightarrow g(x^+_0)>1\Rightarrow g(x^+_0)=c$

Từ đó chứng minh được $g(x)=c$ với $x \in \mathbb{R^+}$

Với $g(x_0)=1$ và $g(x_0)<1$ cũng chứng minh tương tự thu được $g(x)=c$

Vậy hàm thỏa đề là $f(x)=c \cdot x$

[bachhammer]

Do $f$ tăng thực sự nên $x>y \Rightarrow f(x)>f(y)$ và $\frac{x^{2}}{f(x)}>\frac{y^{2}}{f(y)}\Rightarrow \frac{x^{2}}{y^2}>\frac{f(x)}{f(y)}>1$

Khi $x \rightarrow y$ thì $f(x) \rightarrow f(y)$ vậy $f$ liên tục.

Cái này liệu có đúng ko?

[Idie9xx]

Cái này liệu có đúng ko?

Do hàm tăng thực sự nên $x>y \Leftrightarrow f(x)>f(y)$ và do $f(\frac{x^2}{f(x)})=x$ nên $x>y \Leftrightarrow \frac{x^2}{f(x)}>\frac{y^2}{f(y)}$

Mọi người xem có sai chỗ nào không