Chủ đề này có 1 trả lời

[vipmath9x]

CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 22-05-2013 - 10:52

[25 minutes]

CMR:

$4(xy+yz+xz)\leq \sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}(\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z})$

Áp dụng AM-GM ta có 

         $\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x} \geq 3\sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}$

Do đó $VP \geq \sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}.3\sqrt[6]{(x+y)(y+z)(z+x)}=3\sqrt[6]{\left [ (x+y)(y+z)(z+x) \right ]^4}=P$

Lại có $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \frac{8}{9}(x+y+z)(xy+yz+xz) \geq \frac{8}{9}\sqrt{3(xy+yz+xz)}(xy+yz+xz)$

Thay vào $P$ ta có ngay đpcm

Dấu = xảy ra khi $x=y=z>0$