Cho x,y,z là các số không âm thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S=$x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Cho x,y,z là các số không âm thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S=$x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Cho x,y,z là các số không âm thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S=$x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Ta sẽ cm $P\geq \dfrac{25}{64}$. Không mất TQ, giả sử $x\geq y\geq z$. Đặt $t=\dfrac{x+y}{2}$.
Ta có $f(x,y,z)-f(t,t,z)=\dfrac{(x-y)^2}{4}\dfrac{\left [ 12(x+y)-z^2(x^2+6xy+y^2) \right ]}{4}$.
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có $z^2(x^2+6xy+y^2)\leq 2z^2(x+y)^2=(x+y).z.z.2(x+y)\leq (x+y).\left [ \frac{z+z+2(x+y)}{3} \right ]^3=x+y\leq 12(x+y)$.
Suy ra $f(x,y,z)\geq f(t,t,z)$. Do đó ta chỉ cần chứng minh BĐT khi $x=y=t$. Thay $z=\dfrac{3}{2}-2t$ vào và khai triển, ta được BĐT tương đương với $(2t-1)^2(64t^4-32t^3-12t^2-100t+191)\geq 0$ (đúng vì $t\geq \dfrac{1}{2}$)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 22-05-2013 - 15:53
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
Cho x,y,z là các số không âm thõa mãn x+y+z=$\frac{3}{2}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng:
S=$x^{3}+y^{3}+z^{3}+x^{2}y^{2}z^{2}$
Có thể xem thêm cách của anh Trần Hoàng Anh
Ta có $(xyz-\frac{1}{8})^2 \geq 0\Rightarrow (xyz)^2 \geq \frac{xyz}{4}-\frac{1}{64}$
$\Rightarrow x^3+y^3+z^3+(xyz)^2 \geq x^3+y^3+z^3+\frac{xyz}{4}-\frac{1}{64}=P-\frac{1}{64}$
Do đó ta sẽ đi tìm Min của $P$
Ta có $24P=24(x^3+y^3+z^3)+6xyz=17(x^3+y^3+z^3)+\left [ 7(x^3+y^3+z^3)+6xyz \right ]$
Lại có $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+6xyz+3\sum xy(x+y)$
Do $3\sum xy(x+y) \leq 6(x^3+y^3+z^3)$
$\Rightarrow 7(x^3+y^3+z^3)+6xyz \geq (x+y+z)^3=\frac{27}{8}$ (1)
Áp dụng AM-GM ta có $x^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8} \geq \frac{3x}{4}$
$\Rightarrow \sum x^3+\frac{6}{8} \geq \frac{3(x+y+z)}{4}=\frac{9}{8}$
$\Rightarrow \sum x^3 \geq \frac{3}{8}\Rightarrow 17\sum x^3 \geq \frac{51}{8}$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $24P=17\sum x^3+\left ( 7 \sum x^3+ 6xyz \right )\geq \frac{78}{8}=\frac{39}{4}$
$\Rightarrow P \geq \frac{13}{32}$
Do đó $x^3+y^3+z^3+(xyz)^2 \geq P-\frac{1}{64} \geq \frac{13}{32}-\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi namsub: 26-05-2013 - 09:21
"Nothing is impossible"
(Napoleon Bonaparte)
Có thể xem thêm cách của anh Trần Hoàng Anh
Dòng thứ 4 từ trên xuống là 17$x^{3}+y^{3}+z^{3}+[7(x^{3}+y^{3}+z^{3})+6xyz]$ phải không nhỉ?
THE SHORTEST ANSWER IS DOING
Dạng bài này có 1 cách rất đơn giản ,ta làm giảm bậc tích xyz $x^{2}y^{2}z^{2}+\frac{1}{64}\geq \frac{xyz}{4}$
Ta chỉ cần chứng minh $4(x^{3}+y^{3}+z^{3})+xyz\geq \frac{13}{27}(x+y+z)^{3}$,
Thông thường ta sau khi biến đổi chỉ còn bậc 3 và bđt cần cm là đúng thì 99,99% sẽ chỉ còn là rút gọn đi BĐT cần chứng minh,phần khó nhất còn lại có lẽ là chứng minh BĐT Schur
TLongHV
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh