Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Tìm bộ số (x;y;z;t) sao cho x;y là các số nguyên, z là số nguyên dương, t là một số nguyên tố có dạng 4k+3 (trong đó k là số tự nhiên) và thoả điều kiện sau:

$(zt^{2}+1)x^{2}+[(z+1)t^{2}+1]y^{2}=t^{z(z+1)}$

[chrome98]

Từ phương trình trên suy ra $t|x^2+y^2$. Mặt khác nếu $t\nmid x,y$ thì $\gcd(t,x)=\gcd(t,y)=1$, theo định lý Fermat nhỏ, ta có $x^{t-1}\equiv 1\mod t, y^{t-1}\equiv 1\mod t$. Theo đề bài $t\in\mathbb{P}, t= 4w+3$, suy ra

\[x^{4w+2}\equiv y^{4w+2}\equiv 1\mod t\rightarrow x^{4w+2}+y^{4w+2}\equiv 2\mod t \]

, nhưng từ \[ t|x^2+y^2\rightarrow x^2\equiv -y^2\mod t \rightarrow x^{4w+2}\equiv -y^{4w+2}\mod t\rightarrow x^{4w+2}+y^{4w+2}\equiv 0\mod t \].

Kết luận được nếu  $t\nmid x,y$ thì $2\equiv 0\mod t\rightarrow t=2\not\equiv 3\mod 4$, mâu thuẫn. 

Do đó $t|x,y$, khi đó chia hai vế cho bình phương ước chung lớn nhất của $x,y$, thì thừa số $t$ ở vế phải mất đi, tức vế phải bằng $1$ bởi nếu còn tồn tại $t$ thì thực hiện như trên, nhưng để ý khi đó $(x,y)\rightarrow (x',y')$ với $\gcd(x',y')=1$, mà $t|x',y'$, nên $t=1$, mâu thuẫn. Nhưng kể cả khi $t=1$ thì vế trái khi đó $>>1$, nên cũng không có giá trị nào thỏa mãn.

KL: Phương trình trên không có bộ số $(x,y,z,t)$ thỏa mãn.