Cho $a>1,b>2$ là các số nguyên dương.Chứng minh rằng $a^{b}+1\geq b(a+1)$.
#2
Đã gửi 23-05-2013 - 23:58
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Cho $a>1,b>2$ là các số nguyên dương.Chứng minh rằng $a^{b}+1\geq b(a+1)$.
Đặt $f(a)=a^b+1-ab-b$
$\Rightarrow f'(a)=b.a^{b-1}-b=b(a^{b-1}-1)> 0$, do $a>1,b>2$
$\Rightarrow f(a)\geq f(2)=2^b+1-2b-b=2^b+1-3b=f(b)$
Lại có $f'(b)=2^b. \ln 2-3> 0$, do $b>2$
$\Rightarrow f(b) \geq f(3)=2^3+1-3.3=0$
Do đó ta có $f(a) \geq f(2)=f(b) \geq f(3)$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $a=2,b=3$
- kunkute, WhjteShadow, loze và 3 người khác yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
