Chủ đề này có 2 trả lời

[trananh2771998]

Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh rằng

$\frac{4ab}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 3$

[trauvang97]

Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh rằng

$\frac{4ab}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 3$

 

Đặt vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh là $A$.

 

Viết lại $A$ thành: $A=\frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{4ab}+\frac{3}{4}\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )-\frac{1}{2}$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: $\frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{4ab}\geq 2$

 

                                                           $\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

 

Do đó: $A\geq 2+\frac{3}{4}.2-\frac{1}{2}=3$ (đpcm)

[Juliel]

Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh rằng

$\frac{4ab}{\left ( a+b \right )^{2}}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 3$

$VP=\frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{a^{2}+b^{2}}{ab}\geq \frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{2ab}=\frac{4ab}{(a+b)^{2}}+\frac{(a+b)^{2}}{4ab}+\frac{(a+b)^{2}}{4ab}\geq 2+1=3$