Chủ đề này có 3 trả lời

[chit_in]

Cho cac số thực dương x, y ,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm GTNN của P =$\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{xy}$

 

[trauvang97]

Cho cac số thực dương x, y ,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm GTNN của P =$\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{xy}$

 

Viết lại biểu thức đã cho thành:

 

$P=\frac{x^{2}}{y}+\frac{x^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}$

 

$P=\frac{x^{2}+y^{2}}{z}+\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+\frac{z^{2}+x^{2}}{y}$

 

$P=\frac{x^{2}+y^{2}}{z}+z+\frac{y^{2}+z^{2}}{x}+x+\frac{z^{2}+x^{2}}{y}+y-(x+y+z)$

 

$P=(x^{2}+y^{2}+z^{2})\left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )-1$

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy và Cauchy - Schwarz ta có:

 

$P\geq \frac{1}{3}(x+y+z)^{2}.\frac{9}{x+y+z}-1=2$

 

Vậy $minP=2\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

[etucgnaohtn]

Cho cac số thực dương x, y ,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm GTNN của P =$\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{xy}$

$P\geq \sum \frac{4x^2}{1-x}$

$\frac{4x^2}{1-x}\geq $$5x-1$ (1)

Thật vậy (1) $\Leftrightarrow \frac{(3x-1)^2}{1-x}\geq 0$ ( điều này đúng với mọi $0< x< 1$ )

Tương tự ... 

Cho ta $Pmin=2 \Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 28-05-2013 - 02:14

[ongngua97]

Cho cac số thực dương x, y ,z thỏa mãn x+y+z=1.Tìm GTNN của P =$\frac{x^{2}\left ( y+z \right )}{yz}+\frac{y^{2}\left ( z+x \right )}{zx}+\frac{z^{2}\left ( x+y \right )}{xy}$

Ta có $\frac{x^{2}(y+z)}{yz}=x^{2}(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq \frac{4x^{2}}{y+z}$

Do đó $P\geq 4(\sum \frac{x^{2}}{y+z})\geq 4\frac{(x+y+z)^{2}}{2(x+y+z)}=2$

Vậy P đạt GTNN là 2, khi đó x=y=z=$\frac{1}{3}$