Chủ đề này có 4 trả lời

[Kir]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=3. Tìm GTNN của:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

[Nguyen Duc Thuan]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=3. Tìm GTNN của:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Cách giải của Jinbe ở đây

[vutuanhien]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=3. Tìm GTNN của:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Xem tại đây:http://diendantoanho...rị-thcs/page-15

[Tienanh tx]

Lại gặp bài này  

$$\mathbf{Cách 1}$$: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta được:

$$a^2b+b^2c+c^2a \le \sqrt{(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)(a^2+b^2+c^2)} \le \sqrt{\dfrac{(a^2+b^2+c^2)^3}{3}}$$

Lại thấy rằng $ab+bc+ca=\dfrac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2}$

Suy ra:

$$a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ca}{a^2b+b^2c+c^2a} \ge a^2+b^2+c^2+\dfrac{\sqrt{3}(9-(a^2+b^2+c^2)}{2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}}$$

Ta cần chứng minh

$$a^2+b^2+c^2+\dfrac{\sqrt{3}(9-(a^2+b^2+c^2)}{2\sqrt{(a^2+b^2+c^2)^3}} \ge 4$$

Đặt $\sqrt{\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}}=t$, bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:

$3t^2+\dfrac{9-3t^2}{6t^3} = 3t^2+\dfrac{3-t^2}{2t^3}\ge 4$

$$\Leftrightarrow 6t^5-8t^3-t^2+3 \ge 0$$

$$\Leftrightarrow (t-1)(6t^4+6t^3-2t^2-3t-3) \ge 0$$

Ta dễ dàng chứng minh được $1 \le t \le \sqrt{3}$. Bây giờ, ta chỉ cần chứng minh được biểu thức $6t^4+6t^3-2t^2-3t-3 \ge 0$ thì bài toán sẽ được chứng minh.

Thật vậy, đặt $f(t)=6t^4+6t^3-2t^2-3t-3$, ta tính được $f'(t)=24t^3+18t^2-4t-3=24t^3+11t^2+4t(t-1)+3(t^2-1) > 0$ suy ra f(t) là hàm đồng biến, suy ra $f(t)>f(1)>0.$

Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1. \blacksquare$

$\mathbf{Cách 2}$$:Ta có:

$$3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+ a^2b+b^2c+c^2a+ab^2+bc^2+a^2c$$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có

$$a^3+ab^2\geq 2a^2b$$

Tương tự: $$b^3+bc^2\geq 2b^2c$$

$$c^3+a^2c\geq 2c^2a$$

Suy ra$$3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)>0$$

Do đó: $$P\geq a^2+b^2+c^2+\frac{ab+bc+ac}{a^2+b^2+c^2}=a^2+b^2+c ^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$$

Đặt $t=a^2+b^2+c^2(t\geq 3)$

$P\geq t+\frac{9-t}{2t}=\frac{t}{2}+\frac{9}{2t}+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 3+\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=4$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 30-05-2013 - 21:59

[PTKBLYT9C1213]

Cho các số thực dương a,b,c thoả mãn: a+b+c=3. Tìm GTNN của:

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{ab+bc+ca}{a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a}$

Đây là bài thi tuyển vào THPT chuyên Phan Bội Châu ấy mà!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PTKBLYT9C1213: 31-05-2013 - 20:29