Cho tam giác ABC có ba góc nhọn là A, B, C; độ dài BC=a; r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu $A\leq 60^{0}\leq B\leq C;\frac{a}{r}=2\sqrt{3}$ thì tam giác ABC đều.
(Có cách nào chỉ dùng hệ thức lượng mà không cần vẽ hình không, cách em làm phải vẽ hình mới ra?)
Em giải như vầy
Gọi (O; r) là đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Như vậy CO là đường phân giác góc C ($OCH=\frac{C}{2}$)
Dựng OH vuông góc BC, ta có: $OH=r=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Theo đề bài ta có: $60^{0}\leq C< 90^{0}\Rightarrow 30^{0}\leq \frac{C}{2}<45^{0}$
$\Rightarrow sin\frac{C}{2}\geq \frac{1}{2}$ và $cot\frac{C}{2}\leq \sqrt{3}$
Xét trong tam giác HCO vuông tại H, ta có:
$HC=OHcot\frac{C}{2}\leq \frac{a}{2\sqrt{3}}.\sqrt{3}=\frac{a}{2}$
$OC=\frac{OH}{sin\frac{C}{2}}\leq \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{1}{2}}=\frac{a}{\sqrt{3}}$
$OH=\sqrt{OC^{2}-HC^{2}}\leq \sqrt{(\frac{a}{\sqrt{3}})^{2}-(\frac{a}{2})^{2}}=\frac{a}{2\sqrt{3}}$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{C}{2}=30^{0}\Rightarrow C=60^{0}$
Kết hợp với điều kiện $A\leq 60^{0}\leq B\leq C$ ta được $A=B=C=60^{0}$
Vậy tam giác ABC đều
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LuminousVN: 30-05-2013 - 17:08
