Chủ đề này có 6 trả lời

[phathuy]

Cho a, b, c, >0 và a+b+c=1. Chứng minh $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}+\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}+\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 3$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phathuy: 30-05-2013 - 20:44

[bachhammer]

Cho a, b, c, >0 và a+b+c=1. Chứng minh $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}+\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}+\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 3$

 

Ta sẽ đi chứng minh: $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq 4b-a$ bằng biển đổi tương đương. Tương tự cho các BĐT còn lại. Từ đó ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

[trauvang97]

Cho a, b, c, >0 và a+b+c=1. Chứng minh $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}+\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}+\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 3$

 

Do $a,b>0$ nên $a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\geq ab(a+b)$

 

Do đó: $a^{3}-19b^{3}\geq ab(a+b)-20b^{3}=b(a^{2}+ab-20b^{2})=b(a+5b)(a-4b)$

 

$\Rightarrow 19b^{3}-a^{3}\leq (ab+5b^{2})(4b-a)$ 

 

$\Rightarrow \frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq 4b-a$

 

Tương tự ta có: $\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}\leq 4c-b$

 

                         $ \frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 4a-c$

 

Cộng vế với vế ta có đpcm

[ongngua97]

Ta sẽ đi chứng minh: $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq 4b-a$ bằng biển đổi tương đương. Tương tự cho các BĐT còn lại. Từ đó ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Làm sao để nghĩ ra được BĐT như vậy bạn ơi?

[bachhammer]

Cái này mình đọc trong một tài liệu toán năm lớp 9. Dễ nhìn thấy dầu bằng xảy ra tại a=b=c. Ta sẽ tìm 2 số x;y sao cho $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq xb+ya$. Hãy cân bằng x;y sao cho khi biển đổi tương ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản $a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\geq 0$. Còn mẹo để sử tìm hệ số x;y nhanh hơn thì... đây: $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq xb+ya$, ta sẽ tìm x thỏa 5x-19=1, tìm y thỏa $\frac{19-1}{1+5}=x+y$. Đó là x=4; y=-1.

[etucgnaohtn]

Cái này mình đọc trong một tài liệu toán năm lớp 9. Dễ nhìn thấy dầu bằng xảy ra tại a=b=c. Ta sẽ tìm 2 số x;y sao cho $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq xb+ya$. Hãy cân bằng x;y sao cho khi biển đổi tương ta sẽ đưa về bất đẳng thức đơn giản $a^{3}+b^{3}-ab(a+b)\geq 0$. Còn mẹo để sử tìm hệ số x;y nhanh hơn thì... đây: $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}\leq xb+ya$, ta sẽ tìm x thỏa 5x-19=1, tìm y thỏa $\frac{19-1}{1+5}=x+y$. Đó là x=4; y=-1.

Tài liệu của bạn chính là cuốn Lời giải đề thi học sinh giỏi toán 9 của Nguyễn Đức Tấn

Nhưng chỗ $5x-19=1$ thật khó giải thích và nếu thay đổi dạng của nó đi sẽ không làm được theo cách này ! Vậy mình có cách tìm nhanh hơn như sau 

 

Cho a, b, c, >0 và a+b+c=1. Chứng minh $\frac{19b^{3}-a^{3}}{ab+5b^{2}}+\frac{19c^{3}-b^{3}}{bc+5c^{2}}+\frac{19a^{3}-c^{3}}{ac+5a^{2}}\leq 3$

Nhận thấy dấu bằng xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$ . 

Ý tưởng : Vẫn là tìm $\frac{19b^3-a^3}{ab+5b^2}\leq ma+nb$ (1) ( dấu $\leq$ dựa vào đpcm )

Tại $a=b=\frac{1}{3}$ thì dấu bằng ở (1) xảy ra nên : $m+n=3$

Tại $b=\frac{1}{3}$ ( nếu thích thì cho tại $a=\frac{1}{3}$ , như nhau cả mà  )

Ta có $\frac{-243a^3+171}{81a+135}-1=ma-\frac{m}{3}$

Chỗ này phải biểu diễn theo $m$ vì $m$ là hệ số của $a$ ( không đc biểu diễn theo $n$ )

Đạo hàm 2 vế theo cách anh nthoangcute cho nhanh : http://diendantoanho...l=+thuật +casio

 tìm đc $m=-1\rightarrow n=4$

Pp này rất hữu dụng , còn về 1 biến tham khảo ở link trên 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi etucgnaohtn: 30-05-2013 - 23:35

[phathuy]

Đạo hàm 2 vế theo cách anh nthoangcute cho nhanh : http://diendantoanho...l=+thuật +casio

 tìm đc $m=-1\rightarrow n=4$

Pp này rất hữu dụng , còn về 1 biến tham khảo ở link trên 

Em mới học cấp 2, chưa học đạo hàm. Etucgnaohtn hãy giải thích theo cách cấp 2 cho em hiểu với.