Chủ đề này có 71 trả lời

[megan98]

Bài 1: Giải phương trình: $\frac{4}{x}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}=x+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$

 

Bài 2: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: $a+b=4$. Chứng minh rằng: $2a+3b+\frac{b}{a}+\frac{10}{b}\geq 16$.

 

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}+2y^{2}+2xy+3y-4=0$.

 

Bài 4: Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện: $\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}$.

          Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S=x^{2}+3xy-2y^{2}-8y+5$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megan98: 30-05-2013 - 22:17

[laiducthang98]

câu 1 : đặt u=$\sqrt{x-\frac{1}{x}}$ , v= $\sqrt{2x-\frac{5}{x}}$ thì có phườn trình:u-($(v^{2}-u^{2})-v=0$ giải ra có u=v => x=2

[phanducnhatminh]

Bài 1:$<=>x-\frac{4}{x}+\sqrt{2x-\frac{5}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}}=0<=>x-\frac{4}{x}+\frac{x-\frac{4}{x}}{\sqrt{2x-\frac{5}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}}=0<=>(x-\frac{4}{x})(1+\frac{1}{\sqrt{2x-\frac{5}{x}}+\sqrt{x-\frac{1}{x}}})=0<=>x-\frac{4}{x}=0<=>x=\pm 2$ ĐKXĐ=>x=2

Bài 2: Bạn xem lại đề.

Bài 3:$<=>4x^{2}+8y^{2}+8xy+12y-16=0<=>(4x^{2}+8xy+4y^{2})+(4y^{2}+12y+9)=25<=>(2x+2y)^{2}+(2y+3)^{2}=25=4^{2}+3^{2} ......$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanducnhatminh: 30-05-2013 - 21:13

[megan98]

Mình đã sửa rùi đó bạn.

[vietquang1998]

Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $x^{2}+2y^{2}+2xy+3y-4=0$.

 

 

 

$x^{2}+2y^{2}+2xy+3y-4=0$

<=> $(x^{2}+2xy+y^{2})+(y^{2}+3y-4)=0$

<=> $(y-1)(y+4)=-(x+y)^{2}\leq 0$ (1)

=> $-4\leq y\leq 1$

Thay các giá trị $y\epsilon$ {-4;-3;-2;-1;0;1} vào (1)

ta được các tập nghiệm (4;-4), (1;-3), (5;-3), (-2;0), (-1;1)

[phanducnhatminh]

Bài 4:$x,y\geq 1$; Nếu x=y=1 thì S=-1

                           Nếu x,y không đồng thời bằng 1 $<=>\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}+\sqrt{x}^{3}-\sqrt{y}^{3}=0$

$<=>\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+(\sqrt{x}-\sqrt{y})(x+\sqrt{xy}+y)=0$

$<=>(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\frac{(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y)=0<=>x=y=>S=2x^{2}-8x+5=2(x-2)^{2}-3\geq -3$

                                     Dấu bằng xảy ra khi $x=y=2$

                            Vậy S_min=-3 khi x=y=2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanducnhatminh: 30-05-2013 - 21:30

[vietquang1998]

Bài 2: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: $a+b=4$. Chứng minh rằng: $2a+3b+\frac{b}{a}+\frac{10}{b}\geq 18$.

 

Bài 2 cứ thế nào ý  $\geq 18$ hay $\geq 16$?

[megan98]

Bài 2 cứ thế nào ý  $\geq 18$ hay $\geq 16$?

18 bạn ạ

[vietquang1998]

18 bạn ạ

thế thì mình ko biết làm rồi

[tuannguyenhue1]

nếu là 18 mình xin phản biện bài toán cho a=b=2 suy ra 16 lớn hơn 18 vô lý nên BĐT sai OK. Phạm kim hùng gọi đây là phản biện toán học

[megan98]

mình cũng nghĩ vậy. Chắc là đầu bài sai. 

[tuannguyenhue1]

không cùng tuổi đâu đừng có xưng mình. chắc là lớn hơn hoặc bằng 16 đấy chép sai đầu bài rồi

[megan98]

giáo viên in đề sai. vừa hỏi rùi. còn nếu xưng hô sai thi sorry. 

[minhhieuchu]

 

Bài 2: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn: $a+b=4$. Chứng minh rằng: $2a+3b+\frac{b}{a}+\frac{10}{b}\geq 16$.

 

Đề này bài 1 3 4 xong rồi nhé!! bây h mình sẽ giải bài 2

Gọi a=2+x ; b=2-x.                                                        đk: $0\leq x\leq 2$        (*)
đpcm $\leftrightarrow 2\left ( 2+x \right )+3\left ( 2-x \right )+\frac{2-x}{2+x}+\frac{10}{2-x}\geq 16\leftrightarrow \left ( 4+2x \right )+\left ( 6-3x \right )+\frac{x^{2}+6x+24}{4-x^{2}}\geq 16\leftrightarrow \frac{x^{3}-9x^{2}+2x+64}{4-x^{2}}\geq 16 \leftrightarrow x^{3}-9x^{2}+2x+64\geq 6-16x^{2}\leftrightarrow x^{3}+7x^{2}+2x\geq 0\leftrightarrow x\left ( x^{2}+7x+2 \right )\geq 0$
Điều này luôn đúng do đk  (*)
Vậy ta có đpcm. "=" $\leftrightarrow x=0\leftrightarrow a=b=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi minhhieuchu: 02-06-2013 - 00:23

[megan98]

Bài 5: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn $x+y=1$.

          1) Chứng minh rằng: $N=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}\geq \frac{25}{2}$.

          2) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$.

 

 Bài 6: Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}$ với a, b là các số dương.

 

Bài 7: Tìm x, y thỏa mãn $5x+2\sqrt{x}(2+y)+y^{2}+1=0$.

 

Bài 8: Giải phương trình: $\left ( \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3} \right )\left ( \sqrt{x^{2}+11x+24}+1 \right )=5$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megan98: 04-06-2013 - 20:12

[Juliel]

 

 

 Bài 6: Chứng minh rằng: $\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{1}{2}$ với a, b là các số dương.

 

Vận dụng Min-cốp-xki $\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\leq \sqrt{(a+b)(c+d)}$

 

: $VP\geq \frac{a+b}{[\sqrt{(a+b)[(3a+b)+(3b+a)]}}=\frac{a+b}{\sqrt{4(a+b)^{2}}}=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-06-2013 - 17:53

[megan98]

Min-cốp-xki là bất đẳng thức gì vậy. Tui không bít. Mong bạn giải thích

[Juliel]

Min-cốp-xki là bất đẳng thức gì vậy. Tui không bít. Mong bạn giải thích

BĐT Min-cốp-xki (đã fix ở câu trả lời trên). Bạn có thể dễ dàng chứng minh nó.

 

Bài 5: Cho 2 số dương x, y thỏa mãn $x+y=1$.

          1) Chứng minh rằng: $N=\left ( x+\frac{1}{x} \right )^{2}+\left ( y+\frac{1}{y} \right )^{2}\geq \frac{25}{2}$.

          2) Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A= \frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{xy}$.

 

Bài 8: Giải phương trình: $\left ( \sqrt{x+8}-\sqrt{x+3} \right )\left ( \sqrt{x^{2}+11x+24}+1 \right )=5$. 

Bài 5 :

1) Vận dụng BĐT $a^{2}+b^{2}\geq \frac{(a+b)^{2}}{2}$

$N\geq \frac{[(x+\frac{1}{x})+(y+\frac{1}{y})]^{2}}{2}=\frac{[1+(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})]^{2}}{2}\geq \frac{(1+\frac{4}{x+y})^{2}}{2}=\frac{25}{2}$

2) $A=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}\geq \frac{4}{(x+y)^{2}}+\frac{1}{2xy}\geq 4+\frac{1}{\frac{(x+y)^{2}}{2}}=6$

Bài 8 : Đặt $\sqrt{x+8)}=a\geq 0;\sqrt{x+3}=b\geq 0$

Ta được $(a-b)(ab+1)=5=a^{2}-b^{2}\Leftrightarrow (a-b)(a-1)(b-1)=0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 02-06-2013 - 18:14

[megan98]

Bài 7 giải như này nè:

 

                                             $5x-2\sqrt{x}(2+y)+y^{2}+1=0 (1)$ ĐKXĐ $x\geq 0$.

Đặt $\sqrt{x}=a$ , $a\geq0$ ta có phương trình

                                             $5a^{2}-2(2+y)a+y^{2}+1=0 (2)$

Xem phương trình (2) là phương trình bậc 2 ẩn a ta có:

                         $\Delta =\left [ -2(2+y) \right ]^{2}-4(y^{2}+1)5$

                                    $=-4(2y-1)^{2}\leq0$  với mọi y

Để phương trình (2) có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta = 0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$.

Thay vào (1) tìm được $x=\frac{1}{4}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi megan98: 02-06-2013 - 19:27

[megan98]

Bài 9: Giải phương trình: $x^2+3x+1=(x+3)\sqrt{x^{2}+1}$.

 

Bài 10: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác, chứng minh:

 

            $\frac{1}{a^{2}+bc}+\frac{1}{b^{2}+ac}+\frac{1}{c^{2}+ab}\leq \frac{a+b+c}{2abc}$