Chủ đề này có 2 trả lời

[hoaadc08]

Cho x là số thực tùy ý . Tìm GTNN và GTLN của : $f(x)=\frac{12x^{4}+8x^{2}+3}{2(x^{2}+1)^{2}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 01-06-2013 - 12:07

[maxolo]

Cho x là số thực tùy ý . Tìm GTNN và GTLN của : $f(x)=\frac{12x^{4}+8x^{2}+3}{2(x^{2}+1)^{2}}$

 

Bài toán có thể được đưa về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f(t) = \frac{12t^2 +8t+3}{(t+1)^2}$, $t \geqslant 0$.

 

Giả sử $a$ nằm trong tập giá trị của hàm số trên, tức là có $t\geqslant 0$ sao cho

$$a = \frac{12t^2 +8t+3}{(t+1)^2}$$

Nhân chéo hai vế ta được

$$a(t+1)^2 = 12t^2+8t+3$$

Nhóm các nhân tử cùng số mũ của $t$

$$(a-12)t^2+2(a-4)t +(a-3)=0\tag{1}$$

Xét trường hợp riêng $a=12$

$$16t + 9 = 0$$

Phương trình này không có nghiệm dương, nên $a=12$ không nằm trong tập giá trị của $t$.

 

Trường hợp $a\ne 12$, một điều kiện cần là phương trình (1) có nghiệm dương, hay $\Delta' \geqslant 0$. Tính $\Delta'$ ta có

$$\Delta' = (a-4)^2 - (a-12)(a-3) = 7a -20 \geqslant 0$$

Ta được $a \geqslant 20/7$.

 

Thật không may, với $a=20/7$ phương trình (1) có dạng

$$-\frac{64}{7}t^2 - \frac{16}{7}t - \frac{1}{7} = 0$$

có nhiệm bội hai $t = -8 < 0$.

 

Chú ý rằng, với $20/7 \leqslant t <3$, phương trình luôn có hai nghiệm âm, vì các nghiệm có tổng âm và

tích dương.

 

Vậy, $a\geqslant 3$. Với $a=3$, dễ thấy $t=0$. Ta được giá trị bé nhất của hàm ban đầu là tại $x^2 = t=0$ và giá trị đó là $3/2$.

 

Với $a>12$, phương trình (1) luôn có 2 nghiệm âm, vì $\Delta >0$ và cả 3 hệ số đều dương. Vậy $a<12$ (trường hợp $a=12$ đã xét ở trên).

 

Cuối cùng, nhận xét rằng với mọi giá trị $a$ sao cho $12 > a \geqslant 3$, phương trình (1) đều có nghiệm dương. Vậy tập giá trị của hàm số $g(t)$ là $[3,12)$ và do đó tập giá trị của hàm số $f(x)$ là $[3/2, 6)$. Hàm số $f(x)$ có min tại $x=0$ và giá trị là $3/2$ và không có max, thay vào đó, nó có tiệm cận ngang phía triên là $y=6$.

[maxolo]

Wolframalpha cho kết quả trong 1 phút:

 

http://www.wolframal... 3)/((x^2+1)^2)