Chủ đề này có 1 trả lời

[ocean99]

cho$a,b,c>0$.ch/m:
$\dfrac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\ge a+b+c$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ocean99: 01-06-2013 - 22:15

[25 minutes]

cho$a,b,c>0$.ch/m:
$\dfrac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}+\dfrac{b^2(c+a)}{c^2+a^2}+\dfrac{c^2(a+b)}{a^2+b^2}\ge a+b+c$

BĐT đã cho tương đương với 

           $\sum \left [ \frac{a^2(b+c)}{b^2+c^2}-a \right ] \geq 0$

 $\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a-b)+ac(a-c)}{b^2+c^2} \geq 0$

Đến đây xuất hiện các nhân tử chung như $ab(a-b)...$ nên bđt tương đương với 

           $\sum ab(a-b)(\frac{1}{b^2+c^2}-\frac{1}{a^2+c^2}) \geq 0$

  $\Leftrightarrow \sum \frac{ab(a+b)(a-b)^2}{(a^2+c^2)(b^2+c^2)} \geq 0$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a,b,c>0$

Dấu = xảy ra khi $a=b=c>0$