Chủ đề này có 3 trả lời

[nhjm nhung]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} & \\ p^{2}+1=2y^{2} & \end{matrix}\right.$

Mod. Chú ý tiêu đề phải ngắn gọn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 04-06-2013 - 05:56

[vutuanhien]

Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho tồn tại cặp số nguyên $(x,y)$ thỏa mãn hệ:

$\left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} & \\ p^{2}+1=2y^{2} & \end{matrix}\right.$

Thay $p=2x^2-1$ vào pt thứ 2, ta được $(2x^2-1)^2+1=2y^2\Rightarrow 4x^4-4x^2+2=2y^2\Rightarrow 2x^4-2x^2+1=y^2\Rightarrow (x^2)^2+(x^2-1)^2=y^2$.

Đây là pt Pitago, nên tồn tại $m,n$ nguyên dương sao cho $x^2=m^2+n^2, x^2-1=2mn\Rightarrow (m-n)^2=1$. WLOG, giả sử $m-n=1$ thì $p=2x^2-1=4mn+1=4m(m-1)+1=(2m-1)^2$. Do $(2m-1)^2$ là hợp số với mọi $m\geq 2$ (nếu $m=1$ thì $p=1$ không là số nguyên tố) nên ta suy ra không tồn tại p thỏa mãn đề bài 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 02-06-2013 - 18:39

[Ha Manh Huu]

Thay $p=2x^2-1$ vào pt thứ 2, ta được $(2x^2-1)^2+1=2y^2\Rightarrow 4x^4-4x^2+2=2y^2\Rightarrow 2x^4-2x^2+1=y^2\Rightarrow (x^2)^2+(x^2-1)^2=y^2$.

Đây là pt Pitago, nên tồn tại $m,n$ nguyên dương sao cho $x^2=m^2+n^2, x^2-1=2mn\Rightarrow (m-n)^2=1$. WLOG, giả sử $m-n=1$ thì $p=2x^2-1=4mn+1=4m(m-1)+1=(2m-1)^2$. Do $(2m-1)^2$ là hợp số với mọi $m\geq 2$ (nếu $m=1$ thì $p=1$ không là số nguyên tố) nên ta suy ra không tồn tại p thỏa mãn đề bài 

p=7 thỏa mãn bạn ơi 

mình cũng nghĩ bài này lâu lâu rồi

[nhjm nhung]

Không làm mất tính tổng quát ta giả sử $x,y> 0$

Dễ thấy: $0< x< y< p \Rightarrow y-x$ không chia hết cho $p$

$2y^{2}-2x^{2}=p^{2}-p \Leftrightarrow 2(y-x)(y+x)=p(p-1)\Rightarrow x+y\vdots p$

Mà $0< x< y< p\Rightarrow x+y< 2p \Rightarrow x+y=p\Rightarrow y=p-x$

Thay vào hệ có:

$\left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} \\ p^{2}+1=2(p-x)^{2} \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p+1=2x^{2} \\ 1=p^{2}-4px+p+1 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} p=2x^{2}-1 \\ p=4x-1 \end{matrix}\right.\Rightarrow 2x^{2}=4x$

$\Rightarrow x=2 \Rightarrow p=7$