Chủ đề này có 10 trả lời

[nhjm nhung]

Tìm các số nguyên $x,y$ biết $x,y$ là nghiệm của  $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$

[phanducnhatminh]

$<=>\sqrt{x+y}+2=\sqrt{x}+\sqrt{y}=>x+y+4\sqrt{x+y}+4=x+y+2\sqrt{xy}=>2\sqrt{x+y}+2=\sqrt{xy}=>4(x+y)+8\sqrt{x+y}+4=xy$

Suy ra $\sqrt{x+y}$ là số tự nhiên(Không là số thập phân được vì x,y nguyên dương)

$\sqrt{x+y}$ là số tự nhiên suy ra $\sqrt{xy}$ là số tự nhiên chẵn. Đặt $\sqrt{xy}$=2a thì$\sqrt{x+y}=a-1$

      Từ đó được hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} xy=4a^{2}\\ x+y=(a-1)^{2} \end{matrix}\right.$

 Dùng định lí Vi-ét đảo ............

 

 

 

 

[tuannguyenhue1]

giả sử x lớn hơn hoặc bằng y. Pt tương đương với $\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\doteq \sqrt{x+y}$ bình phương 2 vế ta được PT tương đương với $\sqrt{xy}< 2+\sqrt{xy}\doteq \sqrt{x}+\sqrt{y}< 2\sqrt{x}$ tương đương với $\sqrt{y}< 2\rightarrow y< 4$ xét y=1,2,3 ta tìm được x

[minhhieuchu]

Tìm các số nguyên $x,y$ biết $x,y$ là nghiệm của  $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$

 

Bài này của bạn không hề khó
Bài như bạn tuannguyenhue1 dưới đây *cách ngắn gọn* là ra ngay mà

giả sử x lớn hơn hoặc bằng y. Pt tương đương với $\sqrt{x}+\sqrt{y}-2\doteq \sqrt{x+y}$ bình phương 2 vế ta được PT tương đương với $\sqrt{xy}< 2+\sqrt{xy}\doteq \sqrt{x}+\sqrt{y}< 2\sqrt{x}$ tương đương với $\sqrt{y}< 2\rightarrow y< 4$ xét y=1,2,3 ta tìm được x

Vậy: (x;y) = (2;2)

[LifeOfLifex998]

Bài này của bạn không hề khó
Bài như bạn tuannguyenhue1 dưới đây *cách ngắn gọn* là ra ngay mà

Vậy: (x;y) = (2;2)

(x;y)=(2;2) ko phải la nghiệm của phương trình

[nhjm nhung]

nghiệm là 9 với 16

[phatthemkem]

Tìm các số nguyên $x,y$ biết $x,y$ là nghiệm của  $\sqrt{x+y}-\sqrt{x}-\sqrt{y}+2=0$ $(1)$

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phatthemkem: 05-06-2013 - 21:21

[taideptrai]

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

 

 

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

nếu nói denta chính phương túc là ngộ nhận $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ nguyên rồi kìa 

[phamphucat]

nếu nói denta chính phương túc là ngộ nhận $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ nguyên rồi kìa 

Bạn nói vậy là sai rồi vì $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ phải là số nguyên thì mới có $\sqrt{x} + \sqrt{y}=z+1$ nguyên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phamphucat: 09-06-2013 - 13:06

[taideptrai]

Bạn nói vậy là sai rồi vì $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ phải là số nguyên thì mới có $\sqrt{x} + \sqrt{y}=z+1$ nguyên

bạn nói thé là sai rồi ! Hai số vô tỉ cộng lại vẫn có thể là sồ nguyên . vd$\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0$

[phatthemkem]

pt tương với

$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{x+y}+2$ $(+)$

Bình phương hai vế rồi rút gọn, ta được

$\sqrt{xy}=2(\sqrt{x+y}+1)$ $(2)$

Bình phương lần nữa, ta được

$xy=4(x+y+1+2\sqrt{x+y})$

$\Leftrightarrow xy-4x-4y-4=8\sqrt{x+y}$

Ta thấy $\sqrt{x+y}$ phải nguyên $(*)$

Từ đó, xét $(2)$ thì $\sqrt{xy}$ chẵn

$\Rightarrow \sqrt{xy}=2z$ $(z\in \mathbb{N})$

Ta có hệ sau

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=z+1\\ \sqrt{xy}=2z \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow$ $\sqrt{x}$ và $\sqrt{y}$ là hai nghiệm của pt

$A^2-(z+1)A+2z=0$ $(3)$

pt $(1)$ có nghiệm nguyên khi và chỉ khi pt $(3)$ có $\Delta \geq 0$ và $\Delta$ chính phương

Ta có $\Delta =z^2-6z+1$

Và $(z-5)^2\leq z^2-6z+1<(z-3)^2$

$*$ Khi $(z-5)^2=z^2-6z+1$ thì $z=6$

$*$ Khi $(z-4)^2=z^2-6z+1$ thì khi giải pt ta đc $z$ không nguyên.

Vậy pt $(1)$ có nghiệm $(9;16),(16;9)$

 

bạn nói thé là sai rồi ! Hai số vô tỉ cộng lại vẫn có thể là sồ nguyên . vd$\sqrt{5}+(-\sqrt{5})=0$

Để ý các dòng màu đỏ nè

Từ $(*)$ và $(2)$ suy ra $\sqrt{xy }\in\mathbb{Z}$ suy ra $xy$ là số chính phương

Từ $(*)$ và $(+)$ suy ra $\sqrt{x }+\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$

Mặc khác, $x,y$ nguyên

Từ ba điều trên ta suy ra $x,y$ nguyên tố cùng nhau

Suy ra $x$ và $y$ phải là số chính phương để $xy$ là số chính phương 

Hay $\sqrt{x },\sqrt{y}\in\mathbb{Z}$