Chủ đề này có 1 trả lời

[nguyenthehoan]

Bài toán: Cho đường tròn tâm $O$ và một điểm $E$ cố định nằm trong đường tròn đó.Qua $E$ vẽ hai dây

 

cung thay đổi $AC$ và $BC$.Gọi $P$ là giao của $AD$ và $BC$.$Q$ là giao điểm của $AB$ và $CD$.Vẽ

 

đường tròn đường kính $PQ$ cắt $(O)$ tai hai điểm $M,N$.Chứng minh rằng khi hai dây cung thay đổi quanh

 

$E$,tâm ngoại tiếp tam giác $OMN$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 04-06-2013 - 15:14

[perfectstrong]

Lời giải:

Theo định lý Brocard, $E$ là trực tâm $\vartriangle OPQ$. (1)

$PQ$ chính là đường đối cực $d$ của $E$ đối với $(O)$ nên khi vẽ $OE \perp PQ$ tại $H$ thì $$\overline{OE}.\overline{OH}=r^2 \quad (2)$$ với $r$ là bán kính của $(O)$.

Vẽ tiếp tuyến $OM',ON'$ tới $(R)$ sao cho $M,M'$ cùng phía so với $OR$. $N,N'$ cũng vậy.

Từ (*), dễ dàng suy ra $E$ thuộc đường đối cực của $O$ đối với $(R)$, tức $E \in M'N'$.

Vẽ $M'N'$ cắt $OR$ tại $L \Rightarrow EL \perp OR \Rightarrow H,E,L,R$ đồng viên.

Kết hợp với (2), ta có $$OM'^2=\overline{OL}.\overline{OR}=\overline{OE}.\overline{OH}=r^2=OM^2$$

Suy ra $OM'=ON'=OM=ON \Rightarrow M \equiv M', N \equiv N'$.

Do đó $\angle OMR=\angle ONR=90^o \Rightarrow O,M,N,R$ cùng thuộc đường tròn có tâm $J$ là trung điểm $OR$.

$$\Rightarrow J=V_{O}^{\frac{1}{2}}(R)$$

Vì $R \in d \Rightarrow J \in d'=V_{O}^{\frac{1}{2}}(d)$: cố định. Ta có đpcm.