Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Cho a,b,c là ba số nguyên dương cho trước. Dãy ${u_{n}}$ được xác định như sau:

$\left\{\begin{matrix} u_{0}=c\\ u_{n}=au_{n-1}+b \forall n=1,2,... \end{matrix}\right.$.

CMR: trong dãy có vô hạn hợp số

[barcavodich]

Cho trước $c=1$

Ta dễ có 

\[ u_{n}=a^{n}+b\frac{a^{n}-1}{a-1} \]

Nếu $\ gcd(a;b)>1 $ thì đúng

do đó ta chỉ cần xét $(a,b)=1$

Khi đó \[ u_{n}=a^{n}+b\frac{a^{n}-1}{a-1}=(a^{n}-a)+b\frac{a^{n}-a}{a-1}+(a+b) \]

Gọi $p$ là $1$ ước nguyên tố của $a+b$

Do $ (a;p)=1 $ 

Nên \[ p^{m}|a^{\varphi(p^{m})+1}-a \]

Do đó $\exists m_0$ để $\forall m> m_0\Rightarrow p^{m}|u_{\varphi(p^{m})+1}$

Lại có $ p^{m}<u_{\varphi(p^{m})+1} $

Nên $ u_{\varphi(p^{m})+1} $ là hợp số