Chủ đề này có 6 trả lời

[hoaadc08]

Cho x , y là các số thực duơng có tổng x + y = 1 .Tìm GTNN của các biểu thức sau :  

$\begin{array}{l}
1)\,\,\,P = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}\\
2)\,\,P = \frac{x}{{\sqrt {1 - y} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - x} }}
\end{array}$

 

 

 

P/S : Các bạn không dùng đạo hàm vì bài cho ở THCS .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoaadc08: 06-06-2013 - 10:23

[Tienanh tx]

1, 

$\oplus$ Ta có:

$P=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}} + \dfrac{y}{\sqrt{1-y}} = \dfrac{x^2}{x\sqrt{1-x}} + \dfrac{y^2}{y\sqrt{1-y}} \overset{C-S}{\ge} \dfrac{(x+y)^2}{x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}} \overset{Bunyakovsky}{\ge} \dfrac{1^2}{\sqrt{(x^2+y^2)[2-(x+y)]}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 

$\oplus$ Ta có bđt: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}$

$\Longrightarrow$ $\sqrt{a+b} \leq  \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\oplus$ Áp dụng bđt phụ , ta có:

$P \ge \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}} = \dfrac{1}{x+y} = 1$

_______________________
Câu $2,$ tương tự nhé           
 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tienanh tx: 06-06-2013 - 13:01

[Kir]

Cho x , y là các số thực duơng có tổng x + y = 1 .Tìm GTNN của các biểu thức sau :  

$\begin{array}{l}
1)\,\,\,P = \frac{x}{{\sqrt {1 - x} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - y} }}\\
2)\,\,P = \frac{x}{{\sqrt {1 - y} }} + \frac{y}{{\sqrt {1 - x} }}
\end{array}$

 

 

 

P/S : Các bạn không dùng đạo hàm vì bài cho ở THCS .

1)P=$\frac{1-y}{\sqrt{y}}+\frac{1-x}{\sqrt{x}}(do x+y=1)$

     =$\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}-(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

     =$\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y}-3(\sqrt{x}+\sqrt{y})$

Mà $\frac{1}{\sqrt{x}}+2\sqrt{x}\geqslant 2\sqrt{2}$(1)

$\frac{1}{\sqrt{y}}+2\sqrt{y}\geqslant 2\sqrt{2}$(2)

$(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}\leq 2(x+y)=2$(3)

Từ (1),(2)và(3)$\Rightarrow$đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kir: 06-06-2013 - 12:15

[Kir]

2) P=$\frac{x}{\sqrt{x}}+\frac{y}{\sqrt{y}}(do x+y=1)$

       =$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leqslant \sqrt{2(x+y)}=\sqrt{2}$

Đây là GTLN

Còn GTNN đây:$\sqrt{x}+\sqrt{y}\geqslant \sqrt{x+y}=1$(*)

Dấu"=" xảy ra $\Leftrightarrow \begin{bmatrix}x=0;y=1 \\ x=1;y=0 \end{bmatrix}$

(cm bđt(*)$\Leftrightarrow x+y+2\sqrt{xy}\geq x+y\Leftrightarrow 2\sqrt{xy}\geq 0$ (đúng),dấu=$\Leftrightarrow$x hoặc y=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kir: 06-06-2013 - 12:16

[Kir]

1, 

$\oplus$ Ta có:

$P=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}} + \dfrac{y}{\sqrt{1-y}} = \dfrac{x^2}{x\sqrt{1-x}} + \dfrac{y^2}{y\sqrt{1-y}} \overset{C-S}{\ge} \dfrac{(x+y)^2}{x\sqrt{1-x}+y\sqrt{1-y}} \overset{Bunyakovsky}{\ge} \dfrac{1^2}{\sqrt{(x^2+y^2)[2-(x+y)]}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 

$\oplus$ Ta có bđt: $\sqrt{a} + \sqrt{b} \ge \sqrt{a+b}$

$\Longrightarrow$ $\sqrt{a+b} \leq  \sqrt{a} + \sqrt{b}$

$\oplus$ Áp dụng bđt phụ , ta có:

$P \ge \dfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \ge \dfrac{1}{\sqrt{x^2} + \sqrt{y^2}} \ge \dfrac{1}{x+y} = 1$

_______________________
Câu $2,$ tương tự nhé           
 

dòng cuối của bạn có vấn đề

[Tienanh tx]

dòng cuối của bạn có vấn đề

Có vấn đề gì bạn, cãm phiền bạn giãi thích giùm mình

[Kir]

Có vấn đề gì bạn, cãm phiền bạn giãi thích giùm mình

Không nghiêm trọng lắm:$\frac{1}{\sqrt{x^{2}}+\sqrt{y^{2}}}=\frac{1}{x+y}$

Bạn lại dùng dấu $\geqslant$