Chủ đề này có 1 trả lời

[bachhammer]

Có tồn tại đa thức với các hệ số nguyên f(x) ($f(x)\not\equiv 0$) sao cho tồn tại các số nguyên phân biệt a,b,c thỏa: f(a) = b, f(b) = c, f(c) = a 

[maitienluat]

Giả sử $f(x)$ là đa thức hệ số nguyên thoả $f(a)=b,f(b)=c,f(c)=a$ với $a,b,c$ là 3 số nguyên phân biệt.

Do $f(x)$ là đa thức hệ số nguyên và $a,b,c$ là các số nguyên phân biệt nên ta có

$b-c=f(a)-f(b) \vdots a-b \Rightarrow \left | b-c \right | \geq \left | a-b \right |$

Tương tự ta có $ \left | c-a \right | \geq \left | b-c \right |$, $\left | a-b \right | \geq \left | c-a \right |$

Từ đây suy ra $\left | b-c \right |=\left | c-a \right |=\left | a-b \right |$

Mà $a\neq b$ nên từ $\left | b-c \right |=\left | c-a \right |$ ta suy ra $b-c=c-a \Leftrightarrow a=2c-b$ (1)

Tương tự từ $\left | c-a \right |=\left | a-b \right |$ ta suy ra $c-a=a-b \Leftrightarrow c=2a-b$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $a=c$, mâu thuẫn

Vậy k tồn tại đa thức hệ số nguyên thoả đề.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 09-06-2013 - 08:43