Chủ đề này có 6 trả lời

[cuongtoanhoc]

cho a,b,c >0.Chứng minh :

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-06-2013 - 18:12

[mystery266]

cho a,b,c >0.Chứng minh :

 

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$

theo bất đẳng thức AM-GM

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^{2}+b^{2}})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$

$\frac{4}{ab}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{4}}$

$(a+b)^{4}\geq 8ab(a^{2}+b^{2})$ đặt$S= a+b,P=ab$

$\Leftrightarrow S^{4}\geq 8P(S^{2}-2P)$$\Leftrightarrow (S^{2}-4P)^{2}\geq 0$

$\Rightarrow dpcm$

[Peter97]

theo bất đẳng thức AM-GM

$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^{2}+b^{2}})}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$

 

Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peter97: 08-06-2013 - 21:43

[mystery266]

Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !

$4\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}})}=\frac{4}{ab}$ 

[tuannguyenhue1]

Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !

mình sẽ phát triển theo hương đó vậy ta sẽ chứng minh $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$ tương đương với $\frac{(a-b)^{4}}{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}\geq 0$ đúng từ đó làm tiếp

[Peter97]

$4\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}})}=\frac{4}{ab}$ 

Ừ Đúng rùi ! cảm ơn

[KietLW9]

Ta dễ có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}=\frac{(a^2+b^2)^2}{a^2b^2(a^2+b^2)}+\frac{4a^2b^2}{a^2b^2(a^2+b^2)}\geqslant \frac{(a+b)^4}{2a^2b^2(a^2+b^2)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{(a+b)^4}{2a^2b^2(a^2+b^2)}\geqslant \frac{32(a^2+b^2)}{(a+b)^4}\Leftrightarrow \frac{(a-b)^4(a^4+12a^3b+6a^2b^2+12ab^3+b^4)}{2a^2b^2(a+b)^4(a^2+b^2)}\geqslant 0$ *đúng*

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi a = b