cho a,b,c >0.Chứng minh :
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-06-2013 - 18:12
cho a,b,c >0.Chứng minh :
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 08-06-2013 - 18:12
cho a,b,c >0.Chứng minh :
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{\left ( a+b \right )^{4}}$
theo bất đẳng thức AM-GM
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^{2}+b^{2}})}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$
$\frac{4}{ab}\geq \frac{32(a^{2}+b^{2})}{(a+b)^{4}}$
$(a+b)^{4}\geq 8ab(a^{2}+b^{2})$ đặt$S= a+b,P=ab$
$\Leftrightarrow S^{4}\geq 8P(S^{2}-2P)$$\Leftrightarrow (S^{2}-4P)^{2}\geq 0$
$\Rightarrow dpcm$
theo bất đẳng thức AM-GM
$\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq 2\sqrt{(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^2})(\frac{4}{a^{2}+b^{2}})}$
$\Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$
Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Peter97: 08-06-2013 - 21:43
EM YÊU BÁC HỒ.....
Bạn giải thick hộ chỗ ấy giúp mình với !
mình sẽ phát triển theo hương đó vậy ta sẽ chứng minh $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{4}{a^{2}+b^{2}}\geq \frac{4}{ab}$ tương đương với $\frac{(a-b)^{4}}{a^{2}b^{2}(a^{2}+b^{2})}\geq 0$ đúng từ đó làm tiếp
$4\sqrt{(\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}b^{2}})(\frac{1}{a^{2}+b^{2}})}=\frac{4}{ab}$
Ừ Đúng rùi ! cảm ơn
EM YÊU BÁC HỒ.....
Ta dễ có: $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{4}{a^2+b^2}=\frac{(a^2+b^2)^2}{a^2b^2(a^2+b^2)}+\frac{4a^2b^2}{a^2b^2(a^2+b^2)}\geqslant \frac{(a+b)^4}{2a^2b^2(a^2+b^2)}$
Ta cần chứng minh: $\frac{(a+b)^4}{2a^2b^2(a^2+b^2)}\geqslant \frac{32(a^2+b^2)}{(a+b)^4}\Leftrightarrow \frac{(a-b)^4(a^4+12a^3b+6a^2b^2+12ab^3+b^4)}{2a^2b^2(a+b)^4(a^2+b^2)}\geqslant 0$ *đúng*
Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi a = b
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh