1.Tìm $f$ đi từ $\mathbb{R}$ đến $\mathbb{R}$ thỏa:
a/ $f$ có hữu hạn không điểm
b/ $f(x^4+y)=x^3f(x)+f(f(y))(1)$
Bài giải:
Từ $(1)$, thay $x=0$ ta được: $$f(y)=f(f(y)), \forall y\in\mathbb{R}(2)$$
Suy ra:$$f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y), \forall x,y\in\mathbb{R}(3)$$
Trong $(3)$ thay $x$ bởi $-x$ ta được:
$$f(x^4+y)=-x^3f(-x)+f(y), \forall x,y\in\mathbb{R}(4)$$
Từ $(3)$, thay $x=1, y=0$ ta được $f(0)=0$. Trong $(1)$, thay $y=0$,, ta được:$$f(x^4)=x^3f(x), \forall x\in \mathbb{R}(5)$$
Từ đó ta có: $$f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)\forall x,y\in \mathbb{R}$$
$$\Rightarrow f(x+y)=f(x)+f(y), \forall y\in \mathbb{R}, \forall x\ge 0(6)$$
Từ $(3),(4)$ và $f(0)=0$ ta suy ra $f(-x)=-f(x), \forall x\in \mathbb{R}$
Do đó: Với $x<0$ và áp dụng $(6)$, ta có:$$f(x+y)=f(-(-x)+y)=-f(-x-y)=-[f(-x)+f(-y)]=f(x)+f(y)$$
Vậy $$f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y\in \mathbb{R}(7)$$
Giả sử tồn tại $x_0\neq 0$ sao cho $f(x_0)=0$. Khi đó: $f(x_0^4)=0$
TH1: $x_0\neq \pm1$. Xét dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_{n+1}=x_n^4, \forall n\in \mathbb{N}$ Khi đó, ta có:
$$f(x_1)=f(x_0^4)=0, f(x_2)=f(x_1^4)=x_1^3f(x_1)=0,..., f(x_n)=0, \forall n\in \mathbb{N}$$
Suy ra mọi số hạng của dãy số đều là nghiệm của $f(x)=0$ và do $x_0\neq\pm1$ nên dãy $(x_n)$ có vô số số hạng khác nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết
TH2: $x_0=1$. Từ $(7)$ ta suy ra $f(2)=0, f(3)=0,...$ suy ra hàm $f$ có vô số không điểm, mâu thuẫn
TH3: $x_0=-1$. Từ $(7)$ ta có:$$0=f(-1)=f(1-1-1)=f(1)+2f(-1)\Rightarrow f(1)=0$$
Do đó: $f(2)=0,f(3)=0,...$ suy ra hàm $f$ có vô số không điểm, mâu thuẫn
Vậy hàm $f$ có duy nhất không điểm là $x=0$
Bây giờ, ta chứng minh $f$ đơn ánh. GIả sử $f(x_1)=f(x_2)$
Khi đó, với mọi $y\in \mathbb{R}$, ta có:
$$f(x_1+y)=f(x_1)+f(y)=f(x_2)+f(y)=f(x_2+y), \forall y\in \mathbb{R}$$
Do đó: $$f(x_1-x_2)=f((x_1+y)-(x_2+y))=f(x_1+y)+f(-(x_2+y))=f(x_1+y)-f(x_2+y)=0$$
Vậy $x_1-x_2$ là một nghiệm của hàm $f$, suy ra $x_1-x_2=0\Rightarrow x_1=x_2$
$\Rightarrow f$ đơn ánh.
Do đó: từ $(2)\Rightarrow f(y)=y, \forall y\in \mathbb{R}$
Vậy có duy nhất hàm số thỏa mãn yêu cầu đề bài là :$$f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 21-06-2013 - 18:55