Chủ đề này có 5 trả lời

[mat troi be nho]

Cho $a,b,c$ là $3$ số thực dương thỏa mãn $ ab+bc+ca =\frac{1}{3} $

CMR

\[ \frac{1}{a^{2}-bc+1}+\frac{1}{b^{2}-ca+1}+\frac{1}{c^{2}-ab+1}\leq 3 \]

 

[nguyenthehoan]

.Biến đổi tương đương ta có:

 

$\sum \frac{1}{a^{2}-bc+1}\leq 3\Leftrightarrow \sum \frac{a^{2}-bc}{a^{2}+2bc+3ab+3ac}\geq 0$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{2a^{2}-2bc}{a^{2}+2bc+3ab+3ac}+3\geq 3$

 

$\Leftrightarrow \sum \frac{a(a+b+c)}{a^{2}-bc+1}\geq 1\Leftrightarrow \sum \frac{a}{a^{2}-bc+1}\geq \frac{1}{a+b+c}$

 

Bất đẳng thức này đã có ở đây:http://diendantoanho...b1geq-frac1abc/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthehoan: 09-06-2013 - 22:35

[barcavodich]

Giải như sau

Đặt $M=\sum \frac{a}{a^2-bc+1}$

$N=\sum \frac{1}{a^2-bc+1}$

Ta có

$M(\sum a(a^2-bc+1))\geq (a+b+c)^2$

$\Rightarrow M\geq \frac{(a+b+c)^2}{a^3+b^3+c^3-3abc+a+b+c}=...=\frac{1}{a+b+c}$

Giải tiếp

...

[pham thuan thanh]

cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn a>b>c>0 và a<b+c. CMR : $\sqrt{x^{2}+y^{2}-\frac{z^{2}}{2}} +\sqrt{x^{2}-\frac{y^{2}}{2}+z^{2}} +\sqrt{\frac{-x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{4}.\left ( x+y+z \right )$

[holmes2013]

cho a,b,c là 3 số thực thoả mãn a>b>c>0 và a<b+c. CMR : $\sqrt{x^{2}+y^{2}-\frac{z^{2}}{2}} +\sqrt{x^{2}-\frac{y^{2}}{2}+z^{2}} +\sqrt{\frac{-x^{2}}{2}+y^{2}+z^{2}} \geq \frac{3\sqrt{2}}{4}.\left ( x+y+z \right )$

Bạn ơi, bất đẳng thức đã cho phải sửa x,y,z thành a,b,c chứ.

Xét $\Delta ABC$ có độ dài 3 cạnh là a,b,c. Gọi $m_{a},m_{b},m_{c}$ là độ dài 3 đường trung tuyến tương ứng và G là trọng tâm.

Bất đẳng thức đã cho tương đương với $m_{a}+m_{b}+m_{c} \geq \frac{3}{4}\left ( a+b+c \right )$

                                                         $\Leftrightarrow GA+GB+GC\geq \frac{1}{2}\left ( a+b+c \right )$ (đúng)

[nguyencuong123]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyencuong123: 23-07-2013 - 21:57