cho a,b,c >0 và a+b+c=6.
Chứng minh rằng:
$\frac{a}{b^{2}+2}+\frac{b}{c^{2}+2}+\frac{c}{a^{2}+2}\geq 1$
chứng minh rằng:$\sum \frac{a}{b^{2}+2}\geq 1$
Bắt đầu bởi pmtlm, 09-06-2013 - 22:32
#3
Đã gửi 11-04-2021 - 14:07
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương: $\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\geqslant 2$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được: $\frac{2a}{b^2+2}=a-\frac{ab^2}{b^2+2}=a-\frac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\geqslant a-\frac{a\sqrt[3]{8b^6}}{3\sqrt[3]{4b^4}}=a-\frac{a\sqrt{2b^2}}{3}\geqslant a-\frac{a(2+b+b)}{9}$
Tương tự rồi cộng lại, ta có: $\frac{2a}{b^2+2}+\frac{2b}{c^2+2}+\frac{2c}{a^2+2}\geqslant a+b+c-\frac{2(ab+bc+ca)+2(a+b+c)}{9}\geqslant a+b+c-\frac{2.\frac{(a+b+c)^2}{3}+2(a+b+c)}{9}=2(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 11-04-2021 - 14:09
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
