Chủ đề này có 2 trả lời

[Supermath98]

Cho các số thực x,y,z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn đk $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. CMR: $\left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\leq 1$. Chỉ rõ dấu = xảy ra khi nào!

[Juliel]

Cho các số thực x,y,z đều lớn hơn 2 và thỏa mãn đk $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$. CMR: $\left ( x-2 \right )\left ( y-2 \right )\left ( z-2 \right )\leq 1$. Chỉ rõ dấu = xảy ra khi nào!

Áp dụng Schur : 

$\frac{1}{xyz}\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z})(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}-\frac{1}{y})(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}-\frac{1}{x})=(1-\frac{2}{x})(1-\frac{2}{y})(1-\frac{2}{z})=1+\frac{4}{xy}+\frac{4}{yz}+\frac{4}{zx}-(\frac{2}{x}+\frac{2}{y}+\frac{2}{z})-\frac{8}{xyz}\Leftrightarrow \frac{9}{xyz}\geq \frac{4(x+y+z)}{xyz}-\frac{xyz}{xyz}\Leftrightarrow xyz+9\geq 4(x+y+z)$

 

Điều cần chứng minh tương đương :

$xyz-2(xy+yz+zx)+4(x+y+z)-8\leq 1\Leftrightarrow 4(x+y+z)\leq 9+xyz$ (luôn đúng theo cmt)

Ta có đpcm

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 3

 

Lưu ý từ giả thiết ta có $xyz=xy+yz+zx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 10-06-2013 - 17:09

[ngocduy286]

Đặt $ a= \frac{1}{x}, b= \frac{1}{y}, c= \frac{1}{z} $ suy ra $ a+b+c=1 $ và $ 0< a, b, c < \frac{1}{2} $

ta được bđt cần chứng minh:   $ (1-2a)(1-2b)(1-2c) \leq abc $

Áp dụng bđt AM-GM ta có:  $ (1-2a)(1-2b) \leq (1-a-b)^2 =c^2 $

tưng tự và nhân lại ta được: 

 $ [(1-2a)(1-2b)(1-2c)]^2 \leq (abc)^2 $   

 $\Leftrightarrow (1-2a)(1-2b)(1-2c)\leq abc $

đẳng thứ xảy ra khi $ x=y=z=3 $