Chủ đề này có 1 trả lời

[pmtlm]

choa ,b,c thỏa mãn phương trình:

$ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc [0;1]

 

tìm max$ P= \frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pmtlm: 11-06-2013 - 16:34

[trauvang97]

choa ,b,c thỏa mãn phương trình:

$ax^{2}+bx+c=0$ có 2 nghiệm thuộc [0;1]

 

tìm max$ P= \frac{(a-b)(2a-b)}{a(a-b+c)}$

 

Gọi hai nghiệm của phương trình đã cho là $x_{1},x_{2}$. Theo định lí Viète ta có:

 

          $x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$

 

Do đó:

 

$P=\left ( 1-\frac{b}{a} \right )\left ( 2-\frac{b}{a} \right ):\left ( 1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a} \right )=\frac{(1+x_{1}+x_{2})(2+x_{1}+x_{2})}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}$

 

$=2+\frac{x_{1}^{2}+x^{2}_{2}+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}$          $(1)$

 

Không mất tính tổng quát, giả sử $x_{1}\leq x_{2}$. Khi đó từ giả thiết: $x_{1},x_{2}\in [0;1]$ suy ra:

 

$x_{1}^{2}\leq x_{1}x_{2}\leq x^{2}_{2}\leq 1$ và $1+x_{1}+x_{2}+ x_{1}x_{2}>0$ nên:

 

 $\frac{x^{2}_{1}+x^{2}_{2}+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}\leq \frac{x_{1}x_{2}+1+x_{1}+x_{2}}{1+x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}}=1$

 

Do vậy từ $(1)$ ta được $P\leq 3$

 

Dễ thấy khi $a=c=-\frac{b}{2}\neq 0$ (lúc đó phương trình có nghiệm kép $x=1$) thì $P=3$. Do đó max$P=3$