Chủ đề này có 1 trả lời

[cool hunter]

Dãy hữu hạn ${u_{k}}$, $k=1,2,...,n$ $(n>5)$ có các tính chất:

1) $\forall k=\overline{1,n}$ thì $u_{k}$ chỉ nhận giá trị 0 hoặc 1.

2) Nếu lấy ra 2 dãy con khác nhau về vị trí, mỗi dãy gồm 5 số hạng liên tiếp của dãy, thì hai dãy con này phải khác nhau ( 2 dãy con này có thể giao nhau).

3) Nếu thêm vào bên phải của dãy một số hạng nữa là $u_{n+1}$, ở đây $u_{n+1}$ cũng chỉ nhận một trong hai giá trị 0 hoặc 1 thì tính chất 2) không đúng nữa.

CMR: $u_{1}=u_{n-3},u_{2}=u_{n-2},u_{3}=u_{n-1},u_{4}=u_{n}$

 

[barcavodich]

Giải như sau 

Giả sử $abcd$ là đoạn $4$ số hạng cuối cùng của dãy

Rõ ràng trong dãy phải có đoạn có dạng $abcd0$ và $abcd1$ vì giả thiết nếu thêm $0$ hoặc $1$ vào cuối của dãy ta thu được $abcd0$ và $abcd1$ tương ứng

Do vậy dãy $abcd$ xuất hiện trong dãy tại $3$ vị trí khác nhau

Ta CM rằng $abcd$ xuất hiện ở vị trí đầu tiên

Nếu không đứng ở vị trí đầu tiên ta xét thêm chữ số đứng ngay trước của cả $3$ đoạn $abcd$ này

Do đó phải có $2$ đoạn giống nhau lập thành $2$ đoạn $5$ chữ số liên tiếp giống hệt nhau (vô lí)

Nên ta có $4$ đoạn chữ số đầu và cuối giống hệt nhau

QED.