Chủ đề này có 1 trả lời

[pmtlm]

giải phương trình

1,$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}= \sqrt{3x^{2}+4x-1}$

2,$\frac{(x-1)^{4}}{(x^{2}-3)^{4}}+\left ( x^{2}-3 \right )^{4}+\frac{1}{(x-1)^{2}}= 3x^{2}-2x-5$

[trauvang97]

giải phương trình

1,$\sqrt{x^{2}+2x}+\sqrt{2x-1}= \sqrt{3x^{2}+4x-1}$

 

Điều kiện xác định:

 

$x^{2}+2x\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\geq 0\\ x\leq -2 \end{bmatrix}$

 

$2x-1\geq 0\Leftrightarrow x\geq \frac{1}{2}$

 

$3x^{2}+4x+1\geq 0\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x\leq -1\\ x\geq -\frac{1}{3} \end{bmatrix}$

 

Do đó tập xác định của phương trình đã cho là: ${x\in \mathbb{R}|x\geq \frac{1}{2}}$

 

Theo bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:

 

$\sqrt{x}.\sqrt{x+2}+1.\sqrt{2x-1}\leq \sqrt{\sqrt{x^{2}}+1}.\sqrt{\sqrt{(x+2)^{2}}+\sqrt{(2x-1)^{2}}}\leq \sqrt{(x+1)(x+2+2x-1)}$

 

$\leq \sqrt{3x^{2}+4x+1}$

 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

 $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}\Leftrightarrow \sqrt{2x^{2}-x}=\sqrt{x+2}\Leftrightarrow x^{2}-x-1=0$

 

$\Leftrightarrow x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ (thoả) hoặc $x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ (loại)

 

Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$